Question

Четыре шара радиуса r лежат на горизонтальном плоском столе и касаются друг друга. В ложбине положен пятый шар такого же радиуса. Найдите расстояние верхней точки пятого шара от плоскости стола.

Answer 1

Сделаем рисунок.
Для простоты оставим на рисунке только диаметры шаров.
Все 5 шаров касаются попарно друг друга. Точки их касания лежат на
серединах отрезков, соединяющих центры шаров. Эти отрезки образуют правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны 2r.
Половина диагонали квадрата, составленного из отрезков, соединяющих центры
четырех шаров (основание пирамиды), равна DO=r√2. Тогда ВО (высота пирамиды) равна по Пифагору из треугольника DOB:
ВО=√(DB²-DO²) или ВО=√(4r²-2r²) =r√2.
Точка О (центр квадрата) расположена на расстоянии r от плоскости, на которой
лежат 4 шара. Точка В (центр пятого шара) - на расстоянии r от верхней точки М этого шара. Тогда искомое расстояние MN=BO+2r или MN=r√2+2r = r(√2+2).
Ответ: искомое расстояние равно r(√2+2).

Answer 2

Предположим, что четыре шара, лежащих на столе, образуют квадрат. Затем пятый шар помещается в центр этого квадрата, в "ложбине". Поскольку все пять шаров имеют одинаковый радиус r, они образуют пирамиду с вершиной в верхней точке пятого шара.

Рассмотрим поперечное сечение этой пирамиды, проходящее через центры всех шаров и плоскость стола. Это будет выглядеть как равнобедренный треугольник, у которого вершина треугольника находится в верхней точке пятого шара, и основание треугольника - это квадрат, образованный центрами четырех шаров на столе.

Теперь мы можем рассмотреть вертикальное поперечное сечение этой пирамиды. Оно будет проходить через вершину пирамиды и перпендикулярно к плоскости стола. Это сечение будет кругом, и его радиус будет равен радиусу пятого шара, так как все шары имеют одинаковый радиус.

Таким образом, расстояние от верхней точки пятого шара до плоскости стола равно радиусу одного из шаров, то есть r.