Question

Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся в отношении 2:5. Вычисли периметр трапеции, меньшее основание которой равно высоте и равно 4 см.

Answer 1

О - точка пересечения диагоналей ВD и АС. ВО/OD=2/5. h=BC=4
1) Тр-ки ВОС и AOD подобны по трем соответственно равным углам (1 пара вертикальных и 2 пары накрест лежащих). Из подобия следует пропорциональность сходственных сторон: BC/AD=BO/OD; AD=BC*OD/BO=4*5/2=10.
2) Проведем две высоты ВN и СМ. Высоты разделят нижнее основание на отрезки;
NM=BC=4; AN=MD=(AD-NM)/2=3.
3) Тр-к ABN с катетами BN=4 и AN=3 - египетский. Значит, гипотенуза АВ=5. (А можно найти АВ по теореме Пифагора),
4) Р=2*АВ+BC+AD=10+4+10=24 см.

Answer 2

Пусть диагонали равнобедренной трапеции пересекаются в точке $O$, и они делятся в отношении 2:5, то есть $AO:OC = 2:5$. Также известно, что меньшее основание равно высоте и составляет 4 см.

Пусть $AB$ - это большее основание трапеции, $CD$ - это меньшее основание (равное высоте), и $AD$ и $BC$ - боковые стороны трапеции.

Так как $CD = 4$ см, и $AO:OC = 2:5$, мы можем представить $AD$ как $2x$ и $BC$ как $5x$, где $x$ - это какая-то положительная величина. Это связано с пропорцией между отрезками $AO$ и $OC$.

Теперь у нас есть две теоремы о пересекающихся хордах:

1. Произведение отрезков каждой диагонали равно произведению отрезков другой диагонали: $AO \cdot OC = BO \cdot OD$

2. Периметр равнобедренной трапеции: $P = AB + AD + BC + CD$

Теперь давайте выразим $AD$ и $BC$ через $x$ и решим систему уравнений:

1. $2x \cdot 5x = 4 \cdot OD$
2. $P = AB + 2x + 5x + 4$

Решая первое уравнение относительно $OD$: $10x^2 = 4 \cdot OD$ $OD = \frac{10x^2}{4} = \frac{5}{2}x^2$

Подставляем $OD$ во второе уравнение: $P = AB + 7x + 4$

Теперь мы должны найти выражение для $AB$ через $x$.

Из теоремы Пифагора для треугольника $AOD$: $AO^2 + OD^2 = AD^2$ $2x^2 + \frac{25}{4}x^4 = 4x^2$ $\frac{25}{4}x^4 = 2x^2$ $x^2 = \frac{8}{25}$ $x = \frac{2\sqrt{2}}{5}$

Теперь, найдя $x$, мы можем найти периметр: $P = AB + 7\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right) + 4$ $P = AB + \frac{14\sqrt{2}}{5} + 4$

Из условия задачи известно, что меньшее основание равно высоте и равно 4 см: $CD = 4 \implies BC = 5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}$

Теперь мы можем найти большее основание $AB$: $AB = AD + 2x = 2x + 2x = 4x = 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{5}$

Подставляем в выражение для периметра: $P = \frac{16}{5} + \frac{14\sqrt{2}}{5} + 4 = \frac{20 + 14\sqrt{2}}{5} + 4 = \frac{24 + 14\sqrt{2}}{5}$

Итак, периметр данной трапеции равен $\frac{24 + 14\sqrt{2}}{5}$ см.