Question

Точка F - середина стороны AD параллелограмма АBCD,диагонали которого пересекаются в точке О.Доказать,что треугольники ОDF и BDA подобны

Answer 1

Диагонали параллелограмма в точке пресечения делятся пополам ⇒ точка O - середина BD.

Точка O - середина BD, точка F - середина AD ⇒ OF - средняя линия ΔABD ⇒ OF ║ AB ⇒ ∠FOD=∠ABD как соответственные углы при параллельных прямых OF и AB и секущей BD.

∠D у треугольников общий, ∠FOD=∠ABD ⇒ ΔODF∞ΔBDA по первому признаку подобия Δ, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ODF и BDA вам понадобится использовать свойства параллелограмма и параллельных прямых.

По условию, точка F - середина стороны AD параллелограмма ABCD, и диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Сначала докажем, что треугольник AOD подобен треугольнику BOC. Это можно сделать, используя следующий факт:

В параллелограмме противоположные углы равны, а смежные дополнительны. Таким образом, ∠BAD = ∠ADC и ∠BCD = ∠CAB.

Теперь рассмотрим треугольники AOD и BOC. У них есть две пары равных углов:

1. ∠BAD = ∠ADC (из свойств параллелограмма).
2. ∠BCD = ∠CAB (из свойств параллелограмма).

Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны по углам.

Так как AC и BD - диагонали параллелограмма, они пересекаются в точке O. Таким образом, по теореме о пересекающихся хордах:

∠ODA = ∠OBC (центральный угол). ∠ODF = ∠OBA (центральный угол).

Так как ∠OBC = ∠OBA, то ∠ODA = ∠ODF.

Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Таким образом, можно сказать, что:

OD / OA = OB / OC.

Следовательно, OD * OC = OA * OB.

Теперь рассмотрим треугольники ODF и BDA. Мы знаем, что:

OD * OC = OA * OB (из вышеуказанных рассуждений).

Это означает, что треугольники ODF и BDA подобны по стороне-стороне-стороне (SAS), так как у них имеются:

1. Общий угол ∠ODF = ∠BDA (как мы доказали ранее).
2. Отношение OD / OA = OB / OC (как мы доказали ранее).
3. Общая сторона OD.

Таким образом, треугольники ODF и BDA подобны.