Question

В треугольнике АВС BD- медиана, угол BDC прямой . Докажите , что треугольник АВС равнобедренный.

Answer 1

В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой и высотой, BD медиана по усл, а так как угол BDC прямой то BD является также и высотой треугольника ABC, следует медиана и высота совпадают значит этот треугольник равнобедренный что и требовалось доказать

Answer 2

Для доказательства равнобедренности треугольника ABC нам дано, что BD - медиана треугольника ABC, и угол BDC прямой. Давайте рассмотрим, какие свойства медианы и прямого угла могут нам помочь в доказательстве.

1. Свойство медианы: Медиана треугольника делит противоположную ей сторону пополам. Это означает, что точка D, в которой медиана BD пересекает сторону AC, делит её на две равные части.

2. Угол BDC прямой: У нас также есть информация, что угол BDC является прямым.

Из этих свойств мы можем сделать следующие выводы:

1. Поскольку точка D делит сторону AC пополам, это означает, что AD = DC.

2. Так как угол BDC прямой, то угол ADC (внутренний угол треугольника ACD) тоже является прямым.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD:

У нас есть:

• AD = DC (по свойству медианы)
• Угол ADC - прямой

Из этого следует, что треугольник ACD - прямоугольный.

Также, в треугольнике ABD у нас есть:

• Угол BDC - прямой (дано)
• Угол ADC - прямой (выше доказано)

Это означает, что угол BDC и угол ADC - это два угла, образующих прямой угол, то есть они соседние углы прямоугольного треугольника ACD.

Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что соседние углы прямоугольника дополняют друг друга до 90 градусов.

Таким образом, угол BDC + угол ADC = 90 градусов.

Но угол BDC прямой, поэтому угол ADC = 90 - угол BDC.

Поскольку угол ADC равен углу ADC и они дополняют друг друга до 90 градусов, то они оба равны 45 градусов.

Итак, в треугольнике ACD у нас два равных угла по 45 градусов, что делает его равнобедренным. Также, из свойства медианы следует, что сторона AC делится пополам точкой D, и угол ADC прямой.

Исходя из равнобедренности треугольника ACD, стороны AD и CD равны. Следовательно, треугольник ABC также равнобедренный.

Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, и доказательство завершено.