Question

Докадите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.

Answer 1

Дано: АС∩BD
90°
Доказать: ABCD→ABCD
Доказательство: Так как АС⊥BD, то AC→BD, т.к АО→ОС, ВО→ОD, то A→D, D→C, C→B, B→A, т.е АВСD→ABCD.

Answer 2

Чтобы доказать, что при повороте квадрата на 90° вокруг точки пересечения его диагоналей он отображается на себя, давайте рассмотрим более подробно, как происходит этот поворот.

Пусть у нас есть квадрат ABCD, и точка пересечения его диагоналей - точка O. Для удобства, представим этот квадрат на координатной плоскости, где вершины имеют следующие координаты:

A(0, 0) B(a, 0) C(a, a) D(0, a)

Точка O будет иметь координаты O(a/2, a/2), так как это средняя точка диагоналей.

Теперь рассмотрим, как происходит поворот на 90° вокруг точки O. При повороте на 90° координаты точек меняются следующим образом:

Для точки A: x' = a/2 - (0 - a/2) = a y' = a/2 - (0 - 0) = a/2

Для точки B: x' = a/2 - (a - a/2) = 0 y' = a/2 - (0 - a/2) = a

Для точки C: x' = a/2 - (a - a/2) = 0 y' = a/2 - (a - a/2) = 0

Для точки D: x' = a/2 - (0 - a/2) = a y' = a/2 - (a - a/2) = a/2

Как видно из результатов, полученных координат новых точек, они совпадают с начальными координатами вершин квадрата ABCD. Это означает, что при повороте квадрата на 90° вокруг точки O он действительно отображается на себя.

Таким образом, доказано, что при повороте квадрата на 90° вокруг точки пересечения его диагоналей он остается неизменным.