Question

Диагональ СА трапеции перпендикулярна основанию AВ, сумма тупых углов 270, а отношение оснований 1:9 (большим основанием является АВ). Доказать, что боковые стороны трапеции относятся как 1:3

Answer 1

CA⊥AB, AB||CD => CA⊥CD
∠CAB=90°, ∠DCA=90°
∠DCB+∠DAB=270° <=> ∠DCA+∠ACB+∠DAC+∠CAB=270° <=> ∠ACB+∠DAC=90°
∠CDA+∠DAC=90° (сумма острых углов прям. треугольника равна 90°)
∠ACB=∠CDA
△ACB~△CDA (по двум углам)
CD/AC=CA/AB=AD/BC

CD/AB=1/9 <=> CD= AB/9
CD/AC=CA/AB <=> CD= CA^2/AB
AB/9= CA^2/AB <=> (CA/AB)^2 =1/9 <=> CA/AB=1/3

AD/BC=CA/AB=1/3

Answer 2

Обозначим большее основание как AB, меньшее как CD, боковые стороны как BC и AD, а диагональ как AC. Также пусть точка пересечения диагоналей будет обозначена как O.

Из условия мы знаем, что сумма тупых углов трапеции равна 270 градусов. Так как это трапеция, то мы имеем два параллельных противоположных угла (по свойствам трапеции), которые в сумме дают 180 градусов. Остальные два угла (острый и тупой) в сумме также дают 180 градусов. Значит, сумма тупых углов равна 270 градусам.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOC. Мы знаем, что угол AOC тупой (так как он лежит на тупых углах трапеции), а угол OAC прямой (так как диагональ перпендикулярна к основанию AB). Значит, угол OCA острый. Таким образом, мы имеем остроугольный треугольник AOC.

Также дано, что отношение оснований трапеции AB:CD = 9:1. Из этого следует, что отношение высот треугольников AOC и COD (проведенных из вершин A и C перпендикулярно основаниям) также равно 9:1. Обозначим высоту треугольника AOC как h_1 и высоту треугольника COD как h_2.

Теперь рассмотрим подобие треугольников AOC и BOC (по общему углу и общему углу между параллельными сторонами). Так как вертикальные углы AOC и BOC равны, то эти треугольники подобны. Следовательно, отношение сторон AC и BC равно отношению высот h_1 и h_2:

AC / BC = h_1 / h_2

Так как отношение высот треугольников AOC и COD равно 9:1:

h_1 / h_2 = 9

Следовательно, AC / BC = 9. Но также известно, что отношение оснований AB:CD = 9:1, а это означает, что AB / BC = 9. Поскольку сторона AB больше стороны AC, мы можем утверждать, что AB > AC.

Итак, у нас есть два треугольника AOC и BOC, в которых угол AOC острый, сторона AC меньше стороны AB, и отношение сторон AC и BC равно 9. Из этого можно сделать вывод, что треугольник AOC меньше треугольника BOC. Следовательно, сторона AO (которая является меньшей стороной треугольника AOC) меньше стороны BO (которая является большей стороной треугольника BOC).

Так как AO и BO являются боковыми сторонами трапеции, мы можем заключить, что боковая сторона AO меньше боковой стороны BO. То есть, AD < BC.

Следовательно, мы доказали, что боковые стороны трапеции AD и BC относятся как 1:3.