Question

Диагональ СА=6 трапеции перпендикулярна основанию AВ, сумма тупых углов 270, а отношение оснований 1:9 (большим основанием является АВ). Через середины оснований и диагоналей трапеции провели четырёхугольник. Найдите его площадь.

Answer 1

Обозначим угол А за х.
По условию задания ∠A + ∠C = 270°.
Угол Д равен 180 - х по свойству трапеции.
Сумма углов четырёхугольника равна 360°.
Поэтому угол В = 360 - 270 - (180 - х) =  х - 90°.
Этому значению равен и угол ДАС как часть угла А минус 90°.
Из подобия треугольников АДС и ВСА составим пропорцию:
ДС/АС = АС/АВ.
Обозначим ДС = 1к, а АВ = 9к.
Тогда АС² = 1к*9к = 9к² или 6² = 9к².
Извлечём корень из обеих частей равенства: 6 = 3к, откуда получаем к = 6/3 = 2.
Основания равны: СД = 1к = 1*2 = 2,
                                АВ = 9к = 9*2 = 18.
Определим координаты вершин заданного четырёхугольника:
G(0;3), E(-1;6), F(8;3), H(9;0).
Разделим его на 2 треугольника.
По разности координат видно, что треугольники равны.
Площадь треугольника GEF S=(1/2)*|(Хe-Хg)*(Уf-Уg)-(Хf-Хg)*(Уe-Уg)| = 12.
S(GEFH) = 2*12 = 24 кв.ед.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства трапеции и прямоугольника. Давайте разберемся подробнее.

Известные данные:

- Диагональ СА = 6 - Трапеция перпендикулярна основанию АВ - Сумма тупых углов трапеции равна 270 градусов - Отношение оснований равно 1:9, где АВ - большее основание

Решение:

1. Найдем угол между диагоналями СА и ВС. - Так как трапеция перпендикулярна основанию АВ, то угол между диагоналями равен 90 градусов.

2. Найдем угол между основанием АВ и диагональю СА. - Так как сумма тупых углов трапеции равна 270 градусов, то каждый тупой угол равен 270/2 = 135 градусов. - Угол между основанием АВ и диагональю СА равен 180 - 135 = 45 градусов.

3. Найдем высоту трапеции. - Так как угол между основанием АВ и диагональю СА равен 45 градусов, то треугольник АСВ является прямоугольным треугольником. - Мы знаем длину диагонали СА (6) и угол между основанием АВ и диагональю СА (45 градусов). - По теореме синусов, высота трапеции равна h = СА * sin(45) = 6 * sqrt(2) = 6 * 1.414 = 8.484.

4. Найдем длины оснований трапеции. - По условию, отношение оснований равно 1:9, где АВ - большее основание. - Пусть АВ = x, тогда ВС = 9x.

5. Найдем площадь трапеции. - Формула площади трапеции: S = (a + b) * h / 2, где a и b - длины оснований, h - высота. - S = (x + 9x) * 8.484 / 2 = 10x * 8.484 / 2 = 42.42x. - Зная, что отношение оснований равно 1:9, мы можем записать x = 1, тогда S = 42.42.

Ответ:

Таким образом, площадь четырехугольника, проведенного через середины оснований и диагоналей трапеции, равна 42.42.