Question

докажите, что медиана любого треугольника делит этот треугольник на треугольники с равными площадями.

Answer 1

Это правильно, по определению, медиана делит сторону пополам. Следовательно, у треугольников, на которые медиана разделила исходный, будут одинаковыми основания и общая высота относительно этих оснований. А площадь равна половине произведения основания на высоту. Поэтому и площади треугольников одинаковы.

Answer 2

Давайте обозначим треугольник как ABC, а его медиану, проведенную из вершины A к середине стороны BC, как AM. Пусть точка D - середина стороны BC. Теперь докажем, что медиана AM делит треугольник ABC на два треугольника с равными площадями.

Сначала заметим, что треугольник ADM и треугольник CDM имеют общее основание CD и одинаковую высоту AM, проведенную из вершины A. Следовательно, их площади равны:

Площадь(ADM) = Площадь(CDM) ...(1)

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Пусть точка E - точка пересечения медианы AM и стороны BC. Тогда медиана AM разделяет треугольник ABC на два треугольника: ABE и ACE. Поскольку AM является медианой, точка E также является серединой стороны BC.

Таким образом, у нас есть:

Площадь(ABE) = Площадь(ACE) ...(2)

Теперь объединим равенства (1) и (2):

Площадь(ADM) = Площадь(CDM) Площадь(ABE) = Площадь(ACE)

Прибавим обе стороны равенства (1) к обеим сторонам равенства (2):

Площадь(ADM) + Площадь(ABE) = Площадь(CDM) + Площадь(ACE)

Следовательно:

Площадь(ABD) = Площадь(AEC)

Таким образом, мы видим, что медиана AM действительно делит треугольник ABC на два треугольника (ABD и AEC) с равными площадями. Это завершает доказательство.