Question

Діагоналі чотирикутника abcd перетинаються у точці О,причому АО*ОВ=СО*ОD.Доведіть що АВСD-трапеція.

Answer 1

Ответ:
Доказано, что две противоположные стороны четырёхугольника ABCD параллельны, из чего следует, что четырехугольник ABCD - трапеция.

Пояснения:

Дано: четырёхугольник ABCD,

AC ∩ BD = O,   АО*ОВ=СО*ОD.
Доказать: ABCD - трапеция.

Доказательство:

Из равенства произведений в условии следует равенство отношений отрезков:

$AO\cdot OB=CO\cdot OD\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB}$

Рассмотрим два треугольника, ΔAOD и ΔCOB.
∠AOD = ∠COB  как вертикальные углы,

AO : CO = OD : OB   по условию.

Значит, треугольник AOD подобен треугольнику COB по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними:

ΔAOD ~ ΔCOB.

Из подобия треугольников следует равенство углов:

∠OAD = ∠BCO,   что то же самое  ∠СAD = ∠BCА.

Эти равные углы  СAD и BCА являются накрест лежащими для прямых  AD и BC  при секущей AC.

Накрест лежащие углы равны, значит, прямые  AD и BC параллельны по признаку параллельности прямых.

AD║BC.

Две противоположные стороны четырёхугольника ABCD параллельны, значит, четырехугольник ABCD - трапеция.

Доказано, что четырехугольник ABCD - трапеция.

Answer 2

Для доведення, що чотирикутник ABCD є трапецією, потрібно показати, що паралельні сторони його перетинаються діагоналі у точці O.

Позначимо довжини діагоналей: AO = a, OB = b, CO = c, і OD = d.

Ми маємо рівність: AO * OB = CO * OD

Ця рівність може бути переписана як: a * b = c * d

Тепер розглянемо дві подібні трикутники: ΔAOB і ΔCOD. За правилом подібності, маємо такі співвідношення:

1. AB/CD = AO/CO = a/c
2. AD/BC = AO/CO = a/c

Звідси ми бачимо, що сторони AB і CD паралельні, оскільки їхні співвідношення відношення однакові.

Таким чином, доведено, що протилежні сторони AB і CD чотирикутника ABCD паралельні. Отже, ABCD є трапецією.