Question

угол при вершине, противолежащий основанию равнобедренного треугольника равен 150 (градусов), а площадь треугольника равна 25. Найдите боковую сторону

Answer 1

Дано:
ΔАВС
∠В=150°
АВ=ВС
SΔАВС=25см
Найти:АВ
Решение: SΔАВС=1/2*АВ*ВС*sin150, 25=1/2*АВ²*1/2
100см=АВ²
 АВ=ВС=10см

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренный треугольник следующим образом:

• Пусть угол при вершине, противолежащий основанию, равен 150 градусов. Обозначим этот угол как A.
• Пусть основание треугольника (две равные стороны) равно b.
• Пусть боковая сторона (третья сторона) треугольника равна a.

Мы знаем, что угол при вершине равнобедренного треугольника делится пополам, так как треугольник симметричен относительно медианы, которая проходит из вершины к середине основания. Значит, каждый угол при основании равен (180° - 150°) / 2 = 15°.

Теперь мы можем применить тригонометрию для нахождения боковой стороны a.

В равнобедренном треугольнике, где угол при вершине A равен 150° и углы при основании равны 15°, применяя закон синусов, мы можем записать:

sin(15°) / b = sin(150°) / a

Площадь треугольника равна 25, и для равнобедренного треугольника она может быть выражена через боковую сторону a и высоту h:

Площадь треугольника (S) = (1/2) * b * h

Но так как у нас нет высоты, то нам понадобится найти ее сначала. Заметим, что треугольник с углами 15°-75°-90° является частным случаем треугольника с углами 30°-60°-90°, и соответственно, его высота равна половине длины боковой стороны:

h = a / 2

Теперь мы можем записать площадь через боковую сторону a:

S = (1/2) * b * (a / 2) = b * a / 4

Известно, что S = 25, поэтому:

25 = b * a / 4

Теперь, используя предыдущее уравнение с законом синусов, можем записать:

sin(15°) / b = sin(150°) / a

Так как sin(150°) = sin(180° - 150°) = sin(30°) = 1/2 и sin(15°) = sin(30° / 2) = √(2 - √3) / 2, подставляем значения:

(√(2 - √3) / 2) / b = (1/2) / a

Теперь, чтобы найти a, можно переписать уравнение следующим образом:

a = b * (√(2 - √3) / (2 * (1/2))) = b * √(2 - √3)

Теперь мы имеем два уравнения:

1. 25 = b * a / 4
2. a = b * √(2 - √3)

Подставим второе уравнение в первое:

25 = b * (b * √(2 - √3)) / 4

Теперь выразим b:

25 * 4 = b^2 * √(2 - √3)

100 = b^2 * √(2 - √3)

Теперь найдем b:

b^2 = 100 / √(2 - √3)

b = √(100 / √(2 - √3))

b ≈ 5.605

Теперь, чтобы найти a, подставим найденное b во второе уравнение:

a = 5.605 * √(2 - √3)

a ≈ 3.24

Итак, боковая сторона треугольника (a) приближенно равна 3.24.