Question

Помогите с задачей по стереометрии. Основания призмы ABCA1B1C1— равносторонние треуголь-ники. Точки M и M1— центры оснований ABC и A1B1C1соответ-ственно.а) Докажите, что угол между прямыми BM и C1M1равен 60◦.б) Найдите угол между прямыми BM1и C1M, если призма прямаяи AB : AA1=3:2. P.S. Оба пункта ПОМОГИТЕ сделать пожалуйста, особенно в б не понимаю где угол между скрещивающимися прямыми окажется.

Answer 1

А) С1М1 || СМ угол между СМ и ВМ в правильном треугольнике 60°

б) Пусть АВ =3 ВВ1=2
Пусть В - начало координат
Ось Х - ВС
Ось У - перпендикулярно Х в сторону А
Ось Z - ВВ1

Координаты точек
В(0;0;0)
С1(3;0;2)
М(1.5;√3/2;0)
М1(1.5;√3/2;2)

Вектора
ВМ1(1.5;√3/2;2) длина √(9/4+3/4+16/4)=√7
С1М(-1.5;√3/2;-2) длина тоже √7
косинус искомого угла
| ВМ1*С1М | / | ВМ1 | / | С1М | = | -9/4+3/4-16/4 | / 7 = 22/28= 11/14
угол arccos(11/14)

Answer 2

Давайте рассмотрим оба пункта задачи:

а) Доказательство угла между прямыми BM и C1M1 равным 60°:

Чтобы доказать, что угол между прямыми BM и C1M1 равен 60°, рассмотрим треугольник BCM и треугольник C1M1A1.

1. Треугольник BCM:

У нас есть равносторонний треугольник ABC, и M - центр его основания BC. Таким образом, угол BMC равен 60° (так как угол в равностороннем треугольнике равен 60°).

2. Треугольник C1M1A1:

Точка M1 - центр основания A1B1C1, а треугольник A1B1C1 также равносторонний. Значит, угол C1M1A1 также равен 60°.

Теперь обратим внимание на четырехугольник C1M1MB. Он является четырехугольником со сторонами C1M1, M1M, MB и углом C1M1M, который хотим доказать равным 60°.

Так как угол C1M1A1 равен 60°, а в сумме углы треугольника равны 180°, то угол M1C1M равен 180° - 60° = 120°.

Теперь мы знаем, что угол M1C1M равен 120° и угол BMC равен 60°. Обратите внимание, что эти углы в сумме дают нам 180°, что указывает на то, что прямые BM и C1M1 образуют прямой угол. Однако у нас нет оснований утверждать, что угол между прямыми BM и C1M1 равен 60°.

б) Нахождение угла между прямыми BM1 и C1M:

Чтобы найти угол между прямыми BM1 и C1M, давайте рассмотрим треугольники BM1M и C1M1M.

1. Треугольник BM1M:

У нас есть прямая призма, и из условия известно, что AB : AA1 = 3:2. Это означает, что отношение высот треугольников BM1M и C1M1M также равно 3:2.

Поскольку BM1M и C1M1M - равносторонние треугольники, то их углы BM1M и C1M1M равны 60°.

2. Нахождение угла между прямыми BM1 и C1M:

Теперь обратим внимание на четырехугольник BM1MC1. У него есть стороны BM1, M1C1 и угол BM1M (60°) и угол C1M1M (60°).

Угол между прямыми BM1 и C1M равен сумме углов BM1M и C1M1M: 60° + 60° = 120°.

Таким образом, угол между прямыми BM1 и C1M равен 120°.

Пожалуйста, убедитесь, что вы правильно поняли условия задачи, и проверьте свои вычисления, чтобы избежать ошибок. Если что-то неясно, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы!