Question

В треугольнике MNP угол N=90 градусов,угол P=60 градусов,MP+PN=27 см. Найдите MP,PN

Answer 1

Угол М=90-60=30°. А катет лежащий напротив угла в 30 ° равен половине гипотенузы. Обозначим ПН х, тогда :
х+2х=27
3х=27
Х=9
Гипотенуза равна 9+9=18

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему косинусов и теорему синусов для прямоугольных и обычных треугольников соответственно.

Пусть MP обозначает длину стороны, лежащей против угла P, а PN - длину стороны, лежащей против угла N.

Теорема косинусов для треугольника MNP гласит: $MN^2 = MP^2 + PN^2 - 2 \cdot MP \cdot PN \cdot \cos N$

Учитывая, что угол N = 90 градусов ($\cos N = \cos 90^\circ = 0$), уравнение упрощается до: $MN^2 = MP^2 + PN^2$

Теорема синусов для обычного треугольника MNP гласит: $\frac{MP}{\sin P} = \frac{MN}{\sin N}$

Учитывая, что угол P = 60 градусов и угол N = 90 градусов ($\sin P = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin N = \sin 90^\circ = 1$), уравнение упрощается до: $MP = \frac{MN}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \cdot MN}{\sqrt{3}}$

Теперь у нас есть два уравнения, включающих длины сторон MN, MP и PN:

1. $MN^2 = MP^2 + PN^2$
2. $MP = \frac{2 \cdot MN}{\sqrt{3}}$

Мы знаем также, что $MP + PN = 27$ см.

Давайте решим систему уравнений.

1. Подставим значение $MP$ из уравнения 2) в уравнение 1): $MN^2 = \left(\frac{2 \cdot MN}{\sqrt{3}}\right)^2 + PN^2$ $MN^2 = \frac{4 \cdot MN^2}{3} + PN^2$

2. Выразим $PN$ через $MN$: $PN = 27 - MP = 27 - \frac{2 \cdot MN}{\sqrt{3}}$

3. Подставим значение $PN$ из уравнения 2) в уравнение 1): $MN^2 = \frac{4 \cdot MN^2}{3} + \left(27 - \frac{2 \cdot MN}{\sqrt{3}}\right)^2$ $MN^2 = \frac{4 \cdot MN^2}{3} + \left(27^2 - \frac{2 \cdot 27 \cdot MN}{\sqrt{3}} + \frac{4 \cdot MN^2}{3}\right)$ $MN^2 = \frac{4 \cdot MN^2}{3} + 27^2 - \frac{2 \cdot 27 \cdot MN}{\sqrt{3}} + \frac{4 \cdot MN^2}{3}$