Question

Через точку A, не лежащую на окружности, к этой окружности проведите касательные AB и AC. Точки B и C - точки касания. Докажите, что AB = AC

Answer 1

Пусть О - центр окружности
АО - биссектриса угла А
Треугольники 
АОВ и АОС прямоугольные (так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания) и у них общая сторона АО и равные острые углы (так как АО - биссектриса) следовательно эти треугольники равны. Тогда и соответствующие стороны равны. Т.е. АВ = АС

Answer 2

Для доказательства того, что AB = AC, давайте рассмотрим треугольник ABC, где A - точка, не лежащая на окружности, B и C - точки касания касательных AB и AC соответственно.

Так как касательные к окружности перпендикулярны радиусам, проведенным в точках касания, получаем, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Теперь обратим внимание на два прямоугольных треугольника: треугольник AOB и треугольник AOC.

1. В треугольнике AOB:

   • OA - радиус окружности,
   • AB - касательная к окружности. По свойству касательной к окружности, она перпендикулярна радиусу в точке касания. Значит, угол OAB прямой.

2. В треугольнике AOC:

   • OA - радиус окружности,
   • AC - касательная к окружности. Так как AC также касается окружности в точке C, она тоже перпендикулярна радиусу в этой точке. Значит, угол OAC тоже прямой.

Таким образом, у нас есть два прямоугольных треугольника AOB и AOC, где углы OAB и OAC равны 90 градусам. Так как оба треугольника имеют общую сторону AO (радиус окружности), и у них равные прямые углы, то по теореме об одинаковых прямых углах (УГОП) треугольники AOB и AOC подобны.

Таким образом, получаем:

AB / AO = AO / AC

AB * AC = AO^2

А так как точка A находится вне окружности, то AO - это радиус окружности, то есть AO > 0.

Следовательно, AB * AC > 0.

Это означает, что AB и AC имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные). Так как AB и AC представляют длины отрезков, они не могут быть отрицательными. Следовательно, AB и AC положительны и равны друг другу.

Таким образом, AB = AC.