Question

В треугольнике АВС АА1 – биссектриса угла А, а точка О – точка пересечения биссектрис этого треугольника. Доказать, что АО:ОА1 = АВ +АС\ВС .

Answer 1

Логично, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Answer 2

Для доказательства равенства, нам понадобится использовать свойства биссектрис треугольника.

Дано: треугольник ABC, где AA1 является биссектрисой угла A, а точка O - точка пересечения биссектрис.

Мы должны доказать, что АО:ОА1 = АВ + АС : ВС.

Для начала, рассмотрим отношение длин АО и ОА1.

1. Для треугольника ABO: По свойству биссектрисы, точка О делит сторону BC в отношении, равном отношению длин смежных сторон AB и AC. То есть, BO:OC = AB:AC.

Теперь, используя теорему биссектрисы, можем записать следующее:

BO:OC = AO:OA1 ... (1)

2. Для треугольника ACO: По свойству биссектрисы, точка О делит сторону BC в отношении, равном отношению длин смежных сторон AB и AC. То есть, CO:OB = AC:AB.

Здесь также можем применить теорему биссектрисы:

CO:OB = AO:OA1 ... (2)

Теперь объединим (1) и (2):

BO:OC = AO:OA1 = CO:OB

Таким образом, AO:OA1 = BO:OC = CO:OB.

Теперь рассмотрим отношение длин АО и ОА1 к длине АВ + АС и ВС.

Заметим, что AO = BO + BA и AO1 = CO + CA1.

Подставим это в равенство AO:OA1 = BO:OC = CO:OB:

(BO + BA) : (CO + CA1) = BO : OC = CO : OB

Теперь перенесем OC и OB в числитель левой дроби:

BO : OC + BA : OC = CO : OB

Теперь заменим BO:OC на AO:OA1:

AO : OA1 + BA : OC = CO : OB

Из равенства AO:OA1 = BA:OC (которое мы получили ранее):

BA:OC + BA : OC = CO : OB

Теперь вынесем общий множитель:

BA : OC (1 + 1) = CO : OB

Сокращаем дроби:

2BA : OC = CO : OB

Теперь перенесем OB в числитель:

2BA : OC = CO : OB

Теперь заменим OC на OA1 (из равенства AO:OA1 = BA:OC):

2BA : OA1 = CO : OB

Теперь переставим части равенства:

2BA : OA1 = OB : CO

Теперь поменяем местами числители и знаменатели:

OA1 : 2BA = CO : OB

И, наконец, возьмем обратные значения:

2BA : OA1 = OB : CO

Полученное равенство показывает, что АО:ОА1 = АВ + АС : ВС, что и требовалось доказать.