Question

В трапецию ABCD вписана окружность, которая касается боковой стороны AB в точке K. Известно, что AK =8 , KB= 3. Найдите радиус окружности.

Answer 1

В трапецию ABCD вписана окружность, которая касается боковой стороны AB в точке K. Известно, что AK =8 , KB= 3. Найдите радиус окружности. 

Решение возможно в двух вариантах:

1) r = √(8*3) = √24 = 2√6 ед (на основании свойства высоты из прямого угла).

2) Примем О - центр вписанной окружности, 
                   х - отрезок ВО.
                   у - отрезок АО.
Составляем систему из трёх уравнений:
{9 + r² = x²;
{64 + r² = y²;
{x² + y² = (8+3)².
Подставим в третье уравнение x² + y² = 9 + r² + 64 + r² = 2r² + 73.
Получим 2r² + 73 = 121,
                r² = (121 - 73)/2 = 48/2 = 24.
Тогда       r = √24 = 2√6 ед.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство касания окружности к стороне трапеции. Когда окружность касается стороны трапеции в точке, перпендикулярной к боковой стороне трапеции, от точки касания до вершины трапеции и от точки касания до другой вершины трапеции, образуются радиусы окружности.

Пусть радиус окружности равен r.

Мы знаем, что AK = 8 и KB = 3. Кроме того, перпендикуляры от точки касания K до вершин трапеции AD и BC образуют прямоугольный треугольник, в котором один катет равен r (радиус окружности), а другие катеты равны AK и KB.

Применяя теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника, получим:

AK^2 + KB^2 = r^2

8^2 + 3^2 = r^2

64 + 9 = r^2

73 = r^2

Теперь найдем радиус окружности:

r = √73 ≈ 8.54

Ответ: радиус окружности примерно равен 8.54.