Question

периметр квадрата равен периметру равностороннего треугольника. найдите отношение площади квадрата к площади треугольника.

Answer 1

Обозначим периметр буквой р.

Сторона квадрата = р/4, а сторона равностороннего треугольника = р/3.

$\displaystyle S(kvadr)=a^2=\Big(\frac{p}{4}\Big)^2=\frac{p^2}{16}\\\\\\S(\Delta)=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot sin60^\circ =\frac{1}{2}\cdot \Big(\frac{p}{3}\Big)^2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\frac{p^2\sqrt3}{36}\\\\\\\frac{S(kvadr)}{S(\Delta )}=\frac{\dfrac{p^2}{16}}{\dfrac{p^2\sqrt3}{36}}=\frac{36}{16\cdot \sqrt3}=\frac{9}{4\sqrt3}=\frac{9\sqrt3}{12}=\frac{3\sqrt3}{4}$

 

Answer 2

Пусть сторона квадрата равна 's', а сторона равностороннего треугольника равна 't'.

Периметр квадрата равен 4s, а периметр равностороннего треугольника равен 3t.

Условие задачи гласит, что периметры этих двух фигур равны:

4s = 3t

Для равностороннего треугольника все три стороны равны между собой, так что три стороны равны 't'.

Теперь давайте найдем площади этих фигур.

Площадь квадрата вычисляется как квадрат длины его стороны: Площадь квадрата = s^2

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить с помощью формулы Герона, зная его сторону: Площадь треугольника = (t^2 * √3) / 4

Теперь мы хотим найти отношение площади квадрата к площади равностороннего треугольника:

Отношение площадей = (Площадь квадрата) / (Площадь треугольника) Отношение площадей = (s^2) / ((t^2 * √3) / 4)

Теперь, используя информацию о периметрах, мы можем выразить 't' через 's': t = (4s) / 3

Подставим выражение для 't' в формулу отношения площадей:

Отношение площадей = (s^2) / ((((4s) / 3)^2 * √3) / 4)

Теперь упростим это выражение:

Отношение площадей = (s^2) / ((16s^2 * √3) / 36)

Теперь сократим 's^2' и упростим дробь:

Отношение площадей = 36 / (16 * √3)

Отношение площадей = 36 / (16 * 1.732) ≈ 1.5

Таким образом, отношение площади квадрата к площади равностороннего треугольника составляет примерно 1.5.