Question

2. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к данной прямой.

Answer 1

Доказать: Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.
Доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана. 

Answer 2

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.

Доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана.

Answer 3

Теорема о перпендикуляре гласит:

Если из данной точки провести перпендикуляр к данной прямой, то он будет перпендикулярен этой прямой и единственен.

Доказательство:

Пусть у нас есть данная точка P и данная прямая l. Нам нужно доказать, что существует и единственен перпендикуляр из точки P к прямой l.

1. Существование перпендикуляра: Рассмотрим отрезок PQ, где P - это данная точка, а Q - произвольная точка на прямой l. Теперь проведем прямую, проходящую через P и Q. Для того чтобы найти перпендикуляр к прямой l, который проходит через точку P, нам нужно найти точку R на отрезке PQ, такую что угол RPQ будет прямым. Рассмотрим круговой сегмент, который имеет точки P и Q на своей окружности и центром в точке R. Все радиусы этого сегмента будут равными, так как они равны расстоянию от R до P и Q. Теперь, рассмотрим два треугольника RPQ и RQP. У них углы при P и Q будут равными, так как это равнобедренные треугольники. А значит, у них будет и третий угол равный, что значит, что сумма углов RPQ и RQP будет равна 180 градусам. Но у нас есть прямой угол RPQ, что значит, что угол RQP будет нулевым, что, в свою очередь, означает, что треугольник RQP будет вырожденным и точка R совпадает с точкой Q. Таким образом, получается, что перпендикуляр из точки P к прямой l существует.

2. Единственность перпендикуляра: Предположим, что у нас есть два перпендикуляра PC и PD из точки P к прямой l. Допустим, что эти перпендикуляры не совпадают и пересекают прямую l в точках C и D соответственно. Теперь рассмотрим треугольник PCD. У него угол P равен 90 градусам, так как PC и PD являются перпендикулярами, а угол D и угол C также равны 90 градусам, так как они являются углами пересекающихся прямых с перпендикулярами. Таким образом, у треугольника PCD три прямых угла, что противоречит определению треугольника. Значит, наше предположение о том, что перпендикуляры PC и PD не совпадают, неверно, и перпендикуляр из точки P к прямой l единственен.

Таким образом, теорема о перпендикуляре доказана.