Question

У рівнобедриному трикутнику бічна сторона ділиться точкою дотику вписаного в нього кола у відношенні 8:5починаючи з вершини.Обчисліть (у см) радіус вписаного кола,якщо висота трикутника проведена до основи дорівнює 36 см

Answer 1

Рассмотрим половинку треугольника.
Один катет 36, второй 5x, гипотенуза 8x + 5x = 13x
По Пифагору
36² + (5x)² = (13x)²
36² + 25x² = 169x²
36² = 144x²
36*36 = 4*36x²
9 = x²
x = 3
Половинка основания 5x, всё основание 10x = 30 см
Боковая сторона 13x = 39 см
Площадь треугольника через основание и высоту
S = 1/2*30*36 = 30*18 = 540 см²
Полупериметр
p = (39 + 39 + 30)/2 = 39 + 15 = 54 см
Площадь через полупериметр и радиус вписанной окружности
S = rp
540 = r*54
r = 10 см

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використаємо властивість вписаних трикутників у коло.

Позначимо радіус вписаного кола через "r", а бічну сторону трикутника (яка ділиться точкою дотику кола) через "a". Згідно умови, бічна сторона ділиться у відношенні 8:5, тобто:

a = 8x + 5x = 13x,

де "x" - спільний множник, що ділить сторону на відрізки у відповідних пропорціях.

Також нам дано, що висота трикутника (проведена до основи) дорівнює 36 см.

Відомо, що площа трикутника може бути знайдена за допомогою формули:

Площа трикутника = (півпериметр) * (радіус вписаного кола),

де півпериметр трикутника рівний s = (a + a + a) / 2 = 3a / 2.

Тоді площа трикутника дорівнює:

Площа трикутника = (3a / 2) * r.

А також площа трикутника може бути обчислена як половина добутку основи на висоту:

Площа трикутника = (1/2) * a * 36.

Прирівнюючи дві отримані площі трикутника, отримуємо:

(3a / 2) * r = (1/2) * a * 36.

Знаючи вираз для "a" (13x) і висоту (36), можемо розв'язати рівняння:

(3 * 13x / 2) * r = (1/2) * 13x * 36.

Скорочуємо на 13x:

(3 / 2) * r = 18.

Тепер розв'яжемо рівняння відносно "r":

r = 18 * 2 / 3 = 12 см.

Таким чином, радіус вписаного кола дорівнює 12 см.