Question

общая хорда двух кругов, которые пересекаются, есть стороною правильного треугольника, вписаного в один круг, и сторона квадрата, вписаного в другой круг. длина этой хорды равен а. найдите растояние между центрами углов, они лежат по разным сторонам от хорды

Answer 1

D₃ и d₄ - расстояния от хорды до центров окружностей, вписанных в треугольник и в квадрат.
в синем треугольнике
гипотенуза в 2 раза длиннее катета против угла в 30°
длинный катет равен половине хорды
По т. Пифагора
d₃² + (а/2)² = (2d₃)²
d₃² + а²/4 = 4d₃²
а²/4 = 3d₃²
d₃² = а²/12
d₃ = а/(2√3)
красный треугольник прямоугольный и равнобедренный, так что 
d₄ = а/2
Расстояние меж центрами
d₃ + d₄ = а/(2√3) + а/2 = а/(2√3) + а√3/(2√3) =а(1 + √3)/(2√3) = а(√3 + 3)/6

Answer 2

Давайте обозначим центры кругов буквами O₁ и O₂, а центральную точку хорды, где она пересекается с окружностью ₁, буквой M.

Также обозначим длину стороны правильного треугольника, вписанного в окружность ₁, как s, и длину стороны квадрата, вписанного в окружность ₂, как d.

Мы знаем, что длина хорды а равна стороне правильного треугольника s. А также, из свойств правильного треугольника, мы знаем, что радиус окружности ₁ равен R = s/√3.

Также известно, что диаметр окружности ₂ равен d, следовательно, её радиус r = d/2.

Теперь, чтобы найти расстояние между центрами O₁ и O₂, обозначим это расстояние как x. Мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника O₁MO₂:

(x + R + r)² = a².

Подставляем значения радиусов:

(x + s/√3 + d/2)² = a².

Раскрываем скобки:

x² + 2xs/√3 + s²/3 + xd + sd/2 + d²/4 = a².

Теперь мы должны выразить s через a, чтобы упростить уравнение. Мы знаем, что s = a.

Подставляем это обратно в уравнение:

x² + 2xa/√3 + a²/3 + xd + ad/2 + d²/4 = a².

Теперь сгруппируем элементы с переменной x и переместим всё остальное на другую сторону:

x² + 2xa/√3 - 2a²/3 = -xd - ad/2 - d²/4.

Теперь можно привести к общему знаменателю и упростить:

(3x² + 6xa - 2a²)/3 = (-4xd - 2ad - d²)/4.

Теперь избавимся от дроби, умножив обе стороны на 4:

4(3x² + 6xa - 2a²) = -4(4xd + 2ad + d²).

Упростим ещё раз:

12x² + 24xa - 8a² = -16xd - 8ad - 4d².

Теперь приведем всё в левую часть уравнения:

12x² + 24xa + 16xd + 8ad - 8a² + 4d² = 0.

Теперь это уравнение второй степени, и мы можем решить его относительно x. После нахождения x, можно найти расстояние между центрами O₁ и O₂, которое равно x + R + r.