Question

Продолжение боковых сторон АВ и СD трапеции ABCD пересекаются в точке К. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что BC:AD=3:5, а площадь треугольника ВСК равна 27см^2

Answer 1

Площадь трапеции ABCD=площадь треугольника AKD-площадь треугольника ВКС
Δ AKD подобен Δ ВКС (∠К-общий, ∠КВС=∠KAD как соответственные)
BC:AD=BK:AK     3:5=BK:AK    AK=5BK/3
BC:AD=KC:KD     3:5=KC:KD  KD=5KC/3
площадь Δ ВКС=(ВК·КС·sin∠K)/2
площадь ΔAKD=(AK·KD·sin∠K)/2=(5BK/3·5KC/3·sin∠K)/2=
25/9·((BK·KC·sin∠K)/2)=25·27/9=25·3=75 см²
площадь трапеции ABCD=75-27=48 см²

Answer 2

Чтобы найти площадь трапеции ABCD, нужно знать её высоту (h) и среднюю линию (m). Высота трапеции — это расстояние между её основаниями (BC и AD), а средняя линия — это среднее арифметическое длин оснований.

Дано: BC:AD = 3:5, и площадь треугольника ВСК (S_△BCK) = 27 см².

Обозначим длины оснований: BC = 3x (по условию), AD = 5x.

Теперь, чтобы найти высоту трапеции (h), воспользуемся площадью треугольника ВСК (S_△BCK) и длинами его оснований (BC и CK):

S_△BCK = (1/2) * BC * h.

Зная, что S_△BCK = 27 см² и BC = 3x, можем записать уравнение:

27 = (1/2) * 3x * h.

Решим уравнение относительно h:

h = (2 * 27) / (3 * x) = 54 / (3x) = 18 / x.

Теперь найдем среднюю линию трапеции (m), которая равна полусумме длин её оснований:

m = (BC + AD) / 2 = (3x + 5x) / 2 = 8x / 2 = 4x.

Теперь, чтобы найти площадь трапеции ABCD (S_трапеции), воспользуемся следующей формулой:

S_трапеции = m * h.

S_трапеции = 4x * (18 / x) = 72 см².

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна 72 см².