Question

Продолжения боковых сторон АВ и СD пересекаются в точке К. Найдите площадь трапеции АВСD если известно что ВС:СD=3:5, а площадь треугольника ВСК равна 27 см^2?

Answer 1

BKC подобен AKD (по углам: ∠KBC подобен ∠KAC (т.к. односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей.) (С ∠KCB и ∠KDA такая же ситуация) (∠K-общий угол)
ВС:AD=3:5
Пусть к-коэффициент подобия, тогда k=3/5
$\frac{S_{BKC}}{S_{AKD}} = \frac{3}{5}^{2}$
По теореме о площадях подобных треугольников (Площади подобных треугольников относятся, как коэффициент подобия в квадрате)
$\frac{27}{S_{AKD}} = \frac{9}{25}$
Sakd=(27×25)/9=75 см² -это площадь большого треугольника AKD, что бы найти площадь трапеции ABCD, надо из площади большого треугольника Sakd вычесть площадь маленького
SbkcSabcd=Sakd-Sbkc= 75 -27 =48 см²
Sтрапеции abcd = 48 см² -это и есть ответ.

Answer 2

Чтобы найти площадь трапеции ABCD, нам понадобится использовать информацию о соотношении длин сторон ВС и CD, а также о площади треугольника ВСК.

Пусть BC = x (пусть это длина стороны ВС) и CD = 5x (по условию задачи). Теперь у нас есть два треугольника: ВСК и КДС.

Мы знаем, что площадь треугольника ВСК равна 27 см^2, а формула площади треугольника S = (1/2) * a * h, где a - длина основания, h - высота. Так как ВСК - прямоугольный треугольник (угол К равен 90 градусам), то сторона ВС это его основание, а KD это высота.

Таким образом, у нас есть уравнение для площади треугольника ВСК:

27 = (1/2) * x * KD

Теперь нам нужно найти длину KD. Для этого используем соотношение сторон ВС и CD:

ВС:CD = 3:5

x:5x = 3:5

Мы можем упростить это, разделив обе стороны на x:

1:5 = 3:5

Таким образом, x = 3.

Теперь, зная значение x, можем найти длину KD:

27 = (1/2) * 3 * KD

KD = 27 / (1/2) * 3

KD = 27 / 1.5

KD = 18

Теперь, когда у нас есть длина основания трапеции (ВС) и длина её высоты (KD), мы можем найти площадь трапеции.

Площадь трапеции S = (1/2) * (AB + CD) * KD

AB = BC = 3 (по условию задачи)

CD = 5 * BC = 5 * 3 = 15

S = (1/2) * (3 + 15) * 18

S = (1/2) * 18 * 18

S = 9 * 18

S = 162

Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 162 см^2.