Question

Напишите уравнение плоскости, касающейся сферы x^2-4x+y^2+z^2=9 в точке М(3,2,2)

Answer 1

Если плоскость задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то вектор  n(A;B;C) является вектором нормали данной плоскости.
Вектор от точки касания к центру сферы будет вектором нормали к плоскости
x² - 4x + y² + z² = 9
Выделим полные квадраты
x² - 4x + 4 + y² + z² = 9 + 4
(x - 2)² + y² + z² = 13
Координаты центра Ц(2;0;0), радиус √13
Вектор нормали к плоскости
n = МЦ = Ц - М = (2;0;0) - (3,2,2) = (-1,-2,-2)
|n| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
Длина вектора нормали не равна радиусу сферы
Подставим для проверки координаты точки М в уравнение сферы
x² - 4x + y² + z² = 9
3² - 4*3 + 2² + 2² = 9
9 - 12 + 4 + 4 = 9
5 = 9
Равенство не выполняется, сфера не проходит через точку М, задача или с ошибкой, или преднамеренно задана такой, какая есть.

Answer 2

Чтобы написать уравнение плоскости, касающейся сферы x^2-4x+y^2+z^2=9 в точке М(3,2,2), нам нужно учесть, что касательная плоскость к сфере в заданной точке будет иметь нормальное направление, совпадающее с радиус-вектором из центра сферы в точку касания.

Сначала найдем центр сферы. Для этого перепишем уравнение сферы, добавив недостающий квадратный член для координаты y и приведем подобные: x^2 - 4x + y^2 + z^2 = 9 (x^2 - 4x) + y^2 + z^2 = 9 (x^2 - 4x + 4) + y^2 + z^2 = 9 + 4 (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 13

Теперь видно, что центр сферы находится в точке (2, 0, 0).

Далее, найдем радиус-вектор от центра сферы до точки М(3, 2, 2): r = М - Центр сферы r = (3 - 2, 2 - 0, 2 - 0) r = (1, 2, 2)

Теперь у нас есть нормальный вектор нормали к плоскости, которая касается сферы в точке М.

Теперь уравнение плоскости может быть записано с использованием найденной нормали и координат точки М(3, 2, 2):

Нормальное уравнение плоскости: n · (r - М) = 0

где n - нормальный вектор плоскости, r - радиус-вектор от центра сферы до точки М, М - точка касания.

Подставим значения: (1, 2, 2) · ((x, y, z) - (3, 2, 2)) = 0

Теперь раскроем скалярное произведение: 1 * (x - 3) + 2 * (y - 2) + 2 * (z - 2) = 0

Таким образом, уравнение плоскости, касающейся сферы x^2-4x+y^2+z^2=9 в точке М(3,2,2), будет: x - 3 + 2(y - 2) + 2(z - 2) = 0

Или, после раскрытия скобок: x + 2y + 2z - 11 = 0

Это и есть уравнение касательной плоскости к сфере в точке М(3, 2, 2).