Question

Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы составляет 13 см площадь боковой поверхности 180 см^2 . Вычислите площадь основания призмы

Answer 1

ДАНО: KGHLJICABDFE - правильная шестиугольная призма ; KD = 13 cм ; S бок. пов. = 180 см²

НАЙТИ: S осн.

__________________________

РЕШЕНИЕ:

Пусть сторона основания ( правильного шестиугольника ) равна а , тогда
по свойству шестиугольника его сторона СЕ в два раза меньше его большей диагонали CD => CD = 2a

S бок. пов. = Р осн. × h, где h - высота призмы ( боковое ребро )

180 = 6а × h
h = 180 / 6a = 30 / a

В правильной шестиугольной призме все боковые ребра перпендикулярны основаниям. Значит, ∆ KCD - прямоугольный
По теореме Пифагора:
KD² = KC² + CD²
KC² = KD² - CD²

h² = 13² - ( 2a )²

( 30 / a )² = 13² - ( 2a )²

900 / a² = 169 - 4a²
- 4a⁴ + 169a² = 900
4a⁴ - 169a² + 900 = 0
Пусть а² = t , t > 0 , тогда
4t² - 169t + 900 = 0
D = ( - 169 )² - 4 × 4 × 900 = 28561 - 14400 = 14161 = 119²

t = 6,25
t = 36
Обратная замена:
а² = 6,25
а² = 36

а = 2,5
а = 6

По моему, здесь не достаточно данных, чтобы точно определить площадь основания призмы. Поэтому
Площадь шестиугольника вычисляется по формуле :

S осн. = 3√3 а² / 2 = 3√3 × 6,25 / 2 = 9,375√3

ИЛИ

S осн. = 3√3 × 36 / 2 = 54√3

ОТВЕТ: 9,375√3 или 54√3 см²

Answer 2

Для вычисления площади основания призмы, нам потребуется знать её высоту. Но у нас есть только длина наибольшей диагонали и площадь боковой поверхности. Мы можем воспользоваться формулами для нахождения этих величин.

Диагональ правильной шестиугольной призмы делит её на два равных треугольных призмы. Давайте обозначим длину ребра шестиугольника за "a" и высоту треугольного призмы за "h". Тогда длина диагонали равна длине стороны шестиугольника, то есть "a", а ширина треугольного призмы равна "h".

Теперь мы знаем, что площадь боковой поверхности (ПБП) треугольного призмы равна 180 см^2. Площадь боковой поверхности для треугольного призмы можно вычислить по формуле:

ПБП = периметр основания * высота / 2.

Для правильного шестиугольника периметр основания равен 6 * a (6 сторон) и высота "h" равна "a" (так как диагональ делит призму на две равные части).

Таким образом, у нас есть уравнение:

180 = 6 * a * a / 2.

Теперь найдем длину ребра "a":

180 = 3a^2.

Теперь решим это уравнение:

a^2 = 180 / 3,

a^2 = 60,

a = √60.

Теперь, чтобы найти площадь основания, нужно найти площадь правильного шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле:

Площадь основания = (3√3 / 2) * a^2.

Подставим значение "a":

Площадь основания = (3√3 / 2) * 60.

Теперь вычислим это:

Площадь основания ≈ (3√3 / 2) * 60 ≈ 93.53 см^2.

Таким образом, площадь основания призмы составляет приблизительно 93.53 см^2.