Question

прямая проходит через середину отрезка прямой 3x−7y+21= 0, заключенного между осями координат, перпенкулярно этому отрезку,составьте уравнение прямой.

Answer 1

Точки пересечения с осями координат
x = 0
3*0 - 7y + 21 = 0
7y = 21
y = 3
A(0;3)
---
y = 0
3x - 7*0 + 21 = 0
3x = - 21
x = -7
B(-7;0)
---
Середина отрезка АВ
O = (A + B)/2 = ((0;3) + (-7;0))/2 = (-7/2;3/2)
O(-7/2;3/2)
---
3x = 7y - 21
7y = 3x + 21
y = 3/7*x + 3
Ур-е перпендикуляра к этой прямой
y = -7/3*x + b
b найдём из условия прохождения перпендикуляра через О
3/2 = -7/3*(-7/2) + b
3/2 = b + 49/6
b = -20/3
y = -7/3*x - 20/3

Answer 2

Для начала, найдем точки, через которые проходит данный отрезок прямой. Уравнение прямой дано в виде: 3x - 7y + 21 = 0

Чтобы найти точки, подставим y = 0 и x = 0, чтобы найти точки пересечения с осями координат:

1. При y = 0: 3x - 7(0) + 21 = 0 3x + 21 = 0 3x = -21 x = -7

Таким образом, первая точка пересечения с осью x имеет координаты (-7, 0).

2. При x = 0: 3(0) - 7y + 21 = 0 -7y + 21 = 0 -7y = -21 y = 3

Таким образом, вторая точка пересечения с осью y имеет координаты (0, 3).

Теперь найдем середину этого отрезка, что будет являться точкой на искомой прямой. Для этого найдем среднее арифметическое координат обеих точек:

Средняя x-координата: (0 - 7) / 2 = -7/2 = -3.5 Средняя y-координата: (0 + 3) / 2 = 3 / 2 = 1.5

Таким образом, середина отрезка имеет координаты (-3.5, 1.5).

Теперь найдем нормаль к данному отрезку, так как прямая, которую мы ищем, перпендикулярна этому отрезку, и угловой коэффициент этих прямых будет связан следующим образом:

m1 * m2 = -1,

где m1 - угловой коэффициент данного отрезка, m2 - угловой коэффициент искомой прямой.

Угловой коэффициент данного отрезка равен коэффициенту при x в уравнении прямой:

m1 = 3.

Теперь найдем угловой коэффициент искомой прямой:

m1 * m2 = -1, 3 * m2 = -1, m2 = -1 / 3.

Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой равен -1/3.

Теперь у нас есть угловой коэффициент и координаты точки, через которую проходит искомая прямая. Мы можем записать уравнение прямой в общем виде:

y - y0 = m(x - x0),

где (x0, y0) - координаты точки на прямой, m - угловой коэффициент.

Подставим значения:

y - 1.5 = -1/3 * (x - (-3.5)), y - 1.5 = -1/3 * (x + 3.5), y - 1.5 = (-1/3)x - (3.5/3), y - 1.5 = (-1/3)x - 7/6.

Теперь приведем уравнение к стандартному виду, перенеся все в одну сторону:

y = (-1/3)x - 7/6 + 1.5, y = (-1/3)x + 9/6 - 7/6, y = (-1/3)x + 2/6.

Можно сократить 2/6 до 1/3:

y = (-1/3)x + 1/3.

Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через середину отрезка прямой 3x - 7y + 21 = 0 и перпендикулярной этому отрезку, будет y = (-1/3)x + 1/3.