Question

Высота конуса равна 20 см, образующая равна 25 см, вычислите радиус вписанного полушара, основание, которого лежит на основании конуса

Answer 1

На схематическом рисунке осевого сечения конуса

АВС - равнобедренный треугольник, его высота (она же медиана и биссектриса) ВО=20 см; - образующие конуса АВ=ВС=25 см, АО=ОС –радиусы основания конуса,

ОН - радиус полушара.

Радиус окружности, проведенный в точку касания с касательной, перпендикулярен ей. => угол ВНО - прямой и ∆ ОНВ - прямоугольный

По т.Пифагора радиус основания конуса

ОС=√(BC²-BO²)=√(25²-20²)=15 (см)

sin∠OBC=OC:BC=15/20=0,6

Из ∆ ВОН радиус ОН=ВО•sin OBH=20•0,6=12 (см)

Answer 2

Для решения этой задачи, нам необходимо найти радиус вписанного полушара, основание которого лежит на основании конуса.

По условию задачи, образующая конуса равна 25 см, а высота равна 20 см. Обозначим радиус вписанного полушара как r.

Мы знаем, что конус и вписанный полушар имеют общее основание. Обозначим этот радиус основания конуса как R.

Теперь, рассмотрим треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания конуса и радиусом вписанного полушара. Этот треугольник - прямоугольный треугольник.

Мы можем применить теорему Пифагора для этого треугольника:

(R + r)^2 = R^2 + h^2,

где h - высота конуса.

Подставим известные значения:

(R + r)^2 = R^2 + 20^2,

Раскроем скобки:

R^2 + 2Rr + r^2 = R^2 + 400,

Упростим:

2Rr + r^2 = 400.

Теперь, нам нужно еще одно уравнение, чтобы найти r и R. Воспользуемся тем, что образующая конуса связана с R и h следующим образом:

l^2 = R^2 + h^2,

где l - образующая конуса.

Подставим известные значения:

25^2 = R^2 + 20^2,

625 = R^2 + 400.

Выразим R^2:

R^2 = 625 - 400,

R^2 = 225.

Теперь, у нас есть два уравнения:

1. 2Rr + r^2 = 400,
2. R^2 = 225.

Решим эти уравнения. Подставим значение R^2 в первое уравнение:

2 * 15 * r + r^2 = 400,

30r + r^2 = 400.

Перепишем уравнение в виде квадратного:

r^2 + 30r - 400 = 0.

Теперь, решим квадратное уравнение. Факторизуем его или воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, D = 30^2 - 4 * 1 * (-400), D = 900 + 1600, D = 2500.

Так как дискриминант положителен, у уравнения два корня:

r = (-b + √D) / 2a = (-30 + √2500) / 2 = (-30 + 50) / 2 = 20 / 2 = 10, r = (-b - √D) / 2a = (-30 - √2500) / 2 = (-30 - 50) / 2 = -80 / 2 = -40.

Так как радиус не может быть отрицательным, мы отбрасываем отрицательный корень и оставляем только положительный.

Итак, радиус вписанного полушара, основание которого лежит на основании конуса, равен 10 см.