Question

Дано чотири точки: А(1;1), В(2;3),С(0;4), D(-1;2). Доведіть, що чотирикутник АВСD -прямокутник.

Answer 1

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, нужно доказать, что у этого четырехугольника все углы равны 90°.

AB = (2-1,3-1) = (1,2)
BC = (0-2,4-3) = (-2,1)
CD = (-1-0,2-4) = (-1,-2)
DA = (1-(-1),1-2) = (2,-1)

Угол между сторонами = 90°, если их скалярное произведение = 0.
AB*BC = 1*(-2) + 2*1 = -2+2 = 0
-> угол B = 90°.
BC*CD = -2*(-1) + 1*(-2) = 2 - 2 = 0
-> угол C = 90°.
CD*DA = -1*2-2*(-1) = -2+2 = 0
-> угол D = 90°.
DA*AB = 2*1 - 1*2 = 0
-> угол A = 90°.

Все углы равны 90°, четырехугольник -- прямоугольник, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доведення того, що чотирикутник ABCD є прямокутником, ми повинні перевірити, чи перпендикулярні між собою два сусідні сторони.

Чотири точки дані: A(1;1), B(2;3), C(0;4), D(-1;2).

1. Знайдемо довжини сторін AB, BC, CD і DA:

Довжина AB: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((2 - 1)² + (3 - 1)²) = √(1² + 2²) = √5.

Довжина BC: BC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((0 - 2)² + (4 - 3)²) = √((-2)² + 1²) = √5.

Довжина CD: CD = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-1 - 0)² + (2 - 4)²) = √((-1)² + (-2)²) = √5.

Довжина DA: DA = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((1 - (-1))² + (1 - 2)²) = √(2² + (-1)²) = √5.

2. Знайдемо скалярний добуток векторів AB і BC:

AB = (2 - 1, 3 - 1) = (1, 2). BC = (0 - 2, 4 - 3) = (-2, 1).

Скалярний добуток AB і BC: AB · BC = (1 * -2) + (2 * 1) = -2 + 2 = 0.

3. Знайдемо скалярний добуток векторів BC і CD:

BC = (-2, 1). CD = (-1 - 0, 2 - 4) = (-1, -2).

Скалярний добуток BC і CD: BC · CD = (-2 * -1) + (1 * -2) = 2 - 2 = 0.

4. Знайдемо скалярний добуток векторів CD і DA:

CD = (-1, -2). DA = (1 - (-1), 1 - 2) = (2, -1).

Скалярний добуток CD і DA: CD · DA = (-1 * 2) + (-2 * -1) = -2 + 2 = 0.

Оскільки скалярні добутки BC · AB, CD · BC і DA · CD дорівнюють нулю, це означає, що сторони є перпендикулярними між собою.

Таким чином, чотирикутник ABCD є прямокутником.