Question

Гострий кут рівнобічної трапеції дорівнює 60°, а більша основа більша за бічну сторону на 10 см. Знайти меншу основу трапеції, якщо ії діагональ дорівнює 14 см.

Answer 1

Дано: чотирикутник ABCD - рівнобічна трапеція (AB = CD); ∠BAD = 60°, BD = 14 см.

Знайти: BC - ?

Розв'язання. Нехай х см - довжина більшої основи (AD) трапеції. Тоді (х - 10)см - довжина бокової сторони трапеції (AB). Скористаємося теоремою косінусів - твердженням про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора.

BD² = AD² + AB² - 2 × AD × AB × cos∠BAD

14² = x² + (x - 10)² - 2 × x × (x - 10) × cos60°

196 = x² + x² - 20x + 100 - 2(x² - 10x) × 1/2

196 = x² - 10x + 100

x² - 10x - 96 = 0

Скористаємося теоремою Вієта:

х₁ + х₂ = 10

х₁ × х₂ = -96

x₁ = -6 (не задовольняє умові задачі); x₂ = 16

Тоді АD = 16 см, а AB = 16 - 10 = 6 см.

Для того, щоб знайти меншу основу рівнобічної трапеції проведемо дві висоти ВК та СМ з точок В і С відповідно (див. рисунок). Вони утворюють прямокутник, у якого менша основа трапеції ВС дорівнює відрізку КМ, який належить більшій основі AD.

KM = AD - AK - MD = AD - 2AK (тому що AK = MD).

Щоб знайти відрізок АК, розглянемо трикутник АВК (∠AKB = 90°):

cosα = AK/AB ⇒ AK = AB × cosα = 6 × 1/2 = 3 (cм)

Отже, KM = AD - 2AK = 16 - 2 × 3 = 10 (см) = BC

Відповідь: ВС = 10 см.

Answer 2

Давайте позначимо меншу основу трапеції як "x" (в сантиметрах). Тоді більша основа буде "x + 10" (оскільки більша основа більша за бічну сторону на 10 см).

Також, ми маємо даний кут гострої вершини трапеції, який дорівнює 60°.

Діагональ трапеції (позначимо її як "d") можна знайти за допомогою теореми косинусів для трикутника:

$d^2 = x^2 + (x + 10)^2 - 2x(x + 10) \cdot \cos(60°).$

Тепер розв'яжемо це рівняння для "x".

14^2 &= x^2 + (x + 10)^2 - x(x + 10) \\ 196 &= x^2 + (x^2 + 20x + 100) - x^2 - 10x \\ 196 &= x^2 + 10x + 100 \\ 0 &= x^2 + 10x - 96 \end{split}\] Тепер розв'яжемо квадратне рівняння, щоб знайти значення "x". \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\] де a = 1, b = 10, c = -96. \[\begin{split} x &= \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96)}}{2 \cdot 1} \\ x &= \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 384}}{2} \\ x &= \frac{-10 \pm \sqrt{484}}{2} \\ x &= \frac{-10 \pm 22}{2}. \end{split}\] Тепер маємо два значення для "x": 1. \(x_1 = \frac{-10 + 22}{2} = \frac{12}{2} = 6\). 2. \(x_2 = \frac{-10 - 22}{2} = \frac{-32}{2} = -16\). Минула основа трапеції не може бути від'ємною, тому відповідь: менша основа трапеції дорівнює 6 см.