Question

6) Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB не равна BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что BMDK-параллелограмм

Answer 1

BK⊥AC, DM⊥AC => BK||DM

AB=CD (противоположные стороны параллелограмма)

∠BAC=∠DCA (накрест лежащие при AB||CD)

△ABK=△CDM (по гипотенузе и острому углу)

BK=DM

BMDK - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны)

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник BMDK является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.

Дано:

1. ABCD - параллелограмм (так как его названы вершины), т.е. AB || CD и BC || AD.
2. AB ≠ BC (т.е. стороны AB и BC не равны).
3. Угол A острый (т.е. угол A меньше 90 градусов).
4. BK и DM - перпендикуляры к прямой AC из вершин B и D соответственно.

Доказательство: Для начала рассмотрим треугольник ABK. Так как BK перпендикулярен к прямой AC, он также перпендикулярен к её любой линии, проходящей через точку B. В частности, это означает, что BK перпендикулярен стороне AB параллелограмма ABCD. Но так как AB || CD, то и BK перпендикулярен к CD.

Теперь рассмотрим треугольник CDM. Аналогично, DM перпендикулярен к прямой AC и стороне CD параллелограмма ABCD. Но так как BC || AD, то и DM перпендикулярен к AD.

Теперь сравним углы ABK и DCM:

• Угол ABK прямой, так как BK - перпендикуляр к AB.
• Угол DCM также прямой, так как DM - перпендикуляр к DC.

Таким образом, углы ABK и DCM являются прямыми углами.

Теперь обратим внимание на углы BAK и CDM:

• Угол BAK и угол ABK - это углы, образованные пересечением прямой AC и прямой BK.
• Угол CDM и угол DCM - это углы, образованные пересечением прямой AC и прямой DM.

Так как прямая AC пересекает прямые BK и DM под прямым углом (по условию), то углы BAK и CDM являются смежными и дополнительными, и следовательно, они равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольники ABK и CDM. У них:

1. Угол BAK = углу CDM (как только что доказано).
2. Угол ABK = углу DCM (прямые углы).

Таким образом, треугольники ABK и CDM подобны по двум углам. Следовательно, соответствующие стороны параллельны.

Аналогично можно показать, что треугольники BDM и AKC подобны по двум углам, и их стороны также параллельны.

Теперь, когда у нас есть две пары противоположных сторон, которые параллельны, мы можем заключить, что BMDK является параллелограммом.