Question

Дві висоти паралелограма проведені з вершини гострого кута дорівнюють 2 і 3 см,кут між ними 150. обчисліть суму квадратів діагоналей пара-ма

Answer 1

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой и стороной параллелограмма как гипотенузой, острый угол против высоты является смежным с тупым углом параллелограмма. В параллелограмме угол между высотами из вершины острого угла равен тупому углу, 150°. Следовательно, смежный с ним угол равен 180°-150°=30°. Катет против угла 30° равен половине гипотенузы, высоты равны половинам сторон параллелограмма, стороны равны 6 и 4. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов четырех сторон, 2(36+16)=104.

Answer 2

Давайте позначимо паралелограм наступним чином:

• Нехай сторона, з якої проведена перша висота, буде a, а сторона, з якої проведена друга висота, буде b.
• Нехай кут між цими висотами буде θ.

За умовою ми знаємо, що висоти паралелограма мають довжини 2 см і 3 см, а кут між ними становить 150°.

Тепер, з умови про паралелограм, ми знаємо, що протилежні сторони паралелограма рівні. Тому a = b.

Тепер ми можемо застосувати тригонометричні співвідношення для правильного трикутника, утвореного однією з висот паралелограма та половиною однієї з діагоналей. Використовуючи тригонометричні співвідношення, ми можемо знайти довжину половини однієї з діагоналей.

Знаючи, що тангенс кута між висотами дорівнює 2/3, ми отримуємо наступне рівняння:

tan(θ) = a / (d/2),

де d - довжина діагоналі паралелограма.

Ми також знаємо, що кут між висотами дорівнює 150°, тому

θ = 150°.

Тепер можемо знайти довжину діагоналі d:

tan(150°) = a / (d/2), √3 = a / (d/2), d/2 = a / √3.

Також ми знаємо, що a = b, тому з попереднього пункту:

b/2 = a / √3.

Тепер, знаючи висоти паралелограма, можемо знайти b:

b = 2 * √3 = 2√3 см.

Тепер, знаючи a і b, можемо знайти довжину діагоналі d:

d = 2 * b = 2 * 2√3 = 4√3 см.

Отже, довжина діагоналі d дорівнює 4√3 см.

Тепер, щоб знайти суму квадратів діагоналей, просто додамо їхні квадрати:

Сума квадратів діагоналей = (4√3)² + (4√3)² = 48 + 48 = 96.

Таким чином, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює 96 кв. см.