Question

Діагоналі ромба відносяться як 3:4. Знайти сторону ромба, діагоналі та кути якщо периметр 80см

Answer 1

Дан ромб АВСД. У ромба все стороны равны. И равны Р/4=80/4=20.Диагонали пусть будут равны АС=3х и ВД=4х.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, делятся пополам точкой пересечения О и соответственно образуют 4 равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них АОВ. Применим теорему Пифагора

АВ²=АО²+ВО²

20²=(1,5х)²+(2х)²

400=2,25х²+4х²

6,25х²=400

х=20/2,5

х=8

Значит катеты равны

АО=1,5х=12 см

ВО=2х=16 см

Найдем острые углы через тангенс

tg<A=BO/AO=16/12=4/3 (53°)

tg<B=AO/BO=12/16=3/4 (37°)

острые углы треугольника равны половине углов ромба, поэтому углы ромба равны 106° и 74°

Диагонали ромба равны 3х=24 см и 4х=32 см

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використаємо властивості ромба та залежності між його сторонами і діагоналями.

Позначимо сторону ромба як "a", а діагоналі - "d1" та "d2".

1. Властивість ромба: У ромба всі сторони рівні поміж собою. Тобто a = a.

2. Залежність між сторонами і діагоналями: Якщо діагоналі ромба відносяться як 3:4, то маємо таке співвідношення: d1 : d2 = 3 : 4.

3. Периметр ромба: Периметр ромба дорівнює сумі його чотирьох сторін, тобто: П = 4 * a.

4. Залежність між стороною і діагоналями: Сторона ромба і його діагоналі пов'язані залежністю: d1^2 = a^2 + a^2, d2^2 = a^2 + a^2.

Тепер знайдемо всі невідомі величини:

1. Периметр ромба: П = 80 см (за умовою задачі). 80 = 4 * a, a = 80 / 4, a = 20 см.

2. Залежність між діагоналями: d1 : d2 = 3 : 4. Позначимо d1 = 3x і d2 = 4x (де x - додатний множник). Тоді, маємо таку рівність: 3x : 4x = 3 : 4, 3x * 4 = 4x * 3, 12x = 12, x = 1.

   Тепер знайдемо діагоналі: d1 = 3x = 3 * 1 = 3 см, d2 = 4x = 4 * 1 = 4 см.

3. Знаходимо кути ромба: У ромба всі кути рівні між собою. Позначимо кут ромба як "α".

   Для знаходження кута ромба використовуємо теорему косинусів для трикутника зі сторонами a, a і d1: cos(α) = (a^2 + a^2 - d1^2) / (2 * a * a), cos(α) = (20^2 + 20^2 - 3^2) / (2 * 20 * 20), cos(α) = (400 + 400 - 9) / 800, cos(α) = 791 / 800.

   Тепер знаходимо кут α, взявши обернений косинус від отриманого значення: α = cos^(-1)(791 / 800) ≈ 10.27°.

Таким чином, ми знайшли сторону ромба (a = 20 см), діагоналі (d1 = 3 см, d2 = 4 см) та кути (α ≈ 10.27°).