Question

В треугольнике АБС с углом ВАС, равным 24 градусам, на сторонах АВ и АС взяты точки X и Y соответственно. При этом окружность с центром в Y, проходящая через А, проходит также через X, а окружность с центром в X, проходящая через В, проходит также через С и Y. Найдите ∠АВС.

Answer 1

YA=YX (радиусы), △AYX - равнобедренный, ∠AXY=∠A

Центральный угол равен дуге, на которую опирается.

∪DY=∠DXY=∠A

Угол между секущими равен полуразности высекаемых дуг.

∠A= (∪BC-∪DY)/2 <=> ∪BC=2∠A+∪DY =3∠A

∠BXC=∪BC=3∠A

XB=XC (радиусы), △BXC - равнобедренный, ∠B=∠BCX

∠B=(180°-∠BXC)/2 = 90° -3/2 ∠A =54°

Answer 2

Для начала, обозначим неизвестные углы треугольника АБС:

∠АВС - угол между сторонами АВ и АС (искомый угол).

Теперь давайте рассмотрим свойства окружностей, описанных в условии задачи:

1. Окружность с центром в точке Y, проходящая через А и Х. Это означает, что сторона АY является радиусом этой окружности. Так как точка Х также лежит на этой окружности, то угол АХY равен 90 градусам (угол на окружности, составленный хордой и радиусом, всегда прямой).

2. Окружность с центром в точке X, проходящая через В, С и Y. Это означает, что стороны BX, CX и XY являются радиусами этой окружности. Поскольку точка Y лежит на этой окружности, то угол BXY также равен 90 градусам (по свойству, описанному выше).

Теперь обратим внимание на треугольник АYX:

∠AYX = 180 - (∠AXY + ∠AXY) = 180 - 2 * 90 = 0 градусов.

Таким образом, получаем, что точка Y лежит на отрезке AX, что делает треугольник АХС прямоугольным, и угол АХС равен 90 градусам.

Теперь вернемся к треугольнику АВС и используем полученную информацию:

∠АВС = ∠АХС + ∠ХСВ.

У нас уже есть, что ∠АХС = 90 градусам.

Теперь найдем ∠ХСВ. Обратим внимание на треугольник ХВС:

∠ХВС = 180 - (∠ВХС + ∠ХСВ) = 180 - (90 + ∠ХСВ) = 90 - ∠ХСВ.

Также у нас есть, что ∠ВХС = 24 градусам (по условию задачи).

Теперь можем записать:

∠ХВС = 90 - 24 = 66 градусов.

Теперь вернемся к исходному выражению для ∠АВС:

∠АВС = ∠АХС + ∠ХСВ = 90 + 66 = 156 градусов.

Таким образом, угол АВС равен 156 градусам.