Question

В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, радиус описанной окружности равен 2,5 см. Найдите радиус вписанной окружности

Answer 1

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

R=c/2 отсюда находим гипотенузу

с=2 ⋅ 2,5=5.

Третью сторону по теореме Пифагора:

√(25-9)=4

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r=(a+b-c)/2

r=(4+3-5)/2=1

Answer 2

Чтобы найти радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника, нам понадобятся два факта:

1. Для прямоугольного треугольника, радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы.

2. Радиус вписанной окружности выражается через полупериметр треугольника (полупериметр - это половина суммы всех трех сторон треугольника) и площадь треугольника.

Давайте найдем радиус вписанной окружности:

1. Найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:

   гипотенуза^2 = катет^2 + катет^2 гипотенуза^2 = 3^2 + 3^2 гипотенуза^2 = 9 + 9 гипотенуза^2 = 18

   гипотенуза = √18 ≈ 4.24 см

2. Теперь мы знаем радиус описанной окружности, который равен половине гипотенузы:

   Радиус описанной окружности = 2.5 см

3. Найдем площадь треугольника. Площадь треугольника можно найти двумя способами:

   а) Площадь треугольника = 0.5 * катет1 * катет2 б) Площадь треугольника = полупериметр * радиус вписанной окружности

   Так как у нас уже есть радиус описанной окружности, воспользуемся вторым способом:

   Полупериметр = (катет1 + катет2 + гипотенуза) / 2 = (3 + 3 + 4.24) / 2 = 5.62 / 2 ≈ 2.81 см

4. Площадь треугольника можно также найти через радиус описанной окружности и гипотенузу, используя формулу:

   Площадь треугольника = (гипотенуза * радиус описанной окружности) / 2 = (4.24 * 2.5) / 2 ≈ 5.3 см²

5. Теперь найдем радиус вписанной окружности, используя площадь и полупериметр:

   Радиус вписанной окружности = Площадь треугольника / полупериметр ≈ 5.3 / 2.81 ≈ 1.884 см

Таким образом, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника составляет приблизительно 1.884 см.