Question

Помогите пожалуйста В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна √26, а боковое ребро 13. Найдите угол между плоскостями SAB и SBC (ответ:arccos 1/25)

Answer 1

Пусть В - начало координат
Ось X - BA
Ось Y - ВС
Ось Z - перпендикулярно АВС в сторону S

Диагональ основания √26*√2=√52

высота пирамиды
h=√(13^2-(√52/2)^2)=√156

Координаты точек
A (√26;0;0)
C (0;√26;0)
S (√26/2;√26/2;√156)

Уравнение плоскости SAB ( проходит через начало координат)
ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек

√26a=0 a=0
√26a/2+√26b/2+√156c=0

Пусть b=2√6 тогда с = -1

Уравнение SAB
2y√6-z=0

Уравнение плоскости SBC ( проходит через начало координат)
ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек

√26b=0 b=0
√26a/2+√26b/2+√156c=0

Пусть a=2√6 тогда с = -1

Уравнение SBC
2x√6-z=0

Косинус искомого угла равен
(0*2√6 + 2√6*0 + (-1)*(-1))/√((2√6)^2+1)/√((2√6)^2+1) = 1/25

Угол arccos ( 1/25)

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется знать косинус угла между двумя плоскостями. Если векторы нормалей к этим плоскостям обозначим как $\mathbf{n_1}$ и $\mathbf{n_2}$, то косинус угла $\theta$ между плоскостями будет равен:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}}{\left|\mathbf{n_1}\right|\cdot\left|\mathbf{n_2}\right|}$

Так как это правильная четырехугольная пирамида, то сторона основания $ABCD$ - квадрат. Обозначим точки:

$S$ - вершина пирамиды,\ $A, B, C, D$ - вершины основания (углы квадрата),\ $M$ - середина стороны $AB$ квадрата,\ $N$ - середина стороны $BC$ квадрата,\ $O$ - центр квадрата.

Сначала найдем длины сторон квадрата $ABCD$. У нас уже дано, что сторона основания $AB$ равна $\sqrt{26}$. Поскольку это правильный квадрат, то сторона $AM$ будет составлять половину длины стороны $AB$:

$AM = \frac{\sqrt{26}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 13}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 5 \cdot 5}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

Теперь можно найти длину отрезка $SM$. Это будет половина длины бокового ребра пирамиды:

$SM = \frac{13}{2}$

Для того чтобы найти косинус угла между плоскостями $SAB$ и $SBC$, нам нужно знать векторы нормалей $\mathbf{n_1}$ и $\mathbf{n_2}$ к этим плоскостям.

1. Вектор нормали $\mathbf{n_1}$ к плоскости $SAB$ будет перпендикулярен вектору $SM$ и вектору $AM$. Так как $SM$ - это высота правильной четырехугольной пирамиды, а основание $AB$ - квадрат, то вектор нормали $\mathbf{n_1}$ будет сонаправлен с векторным произведением $\vec{SM} \times \vec{AM}$. Можно его найти:

$\vec{SM} = \frac{13}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\mathbf{i} + \mathbf{j}) = \frac{13\sqrt{2}}{2} (-\mathbf{i} + \mathbf{j})$

$\vec{AM} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \mathbf{i} + \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \mathbf{j}$

Теперь найдем вектор нормали:

$\mathbf{n_1} = \vec{SM} \times \vec{AM}$ $\mathbf{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 13\sqrt{2}/2 & 13\sqrt{2}/2 & 0 \\ 5\sqrt{2}/2 & 5\sqrt{2}/2 & 0 \end{vmatrix}$