Question

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Почему прямые лежащие в одной плоскости должны именно пересекаться? Почему не могут быть параллельными?

Answer 1

Объяснение:

Рассмотрим наклонный параллелепипед, боковая грань АА₁В₁В которого прямоугольник. Т.е. ребро АА₁ перпендикулярно ребру АВ.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

CD ║ АВ, значит АА₁ ⊥ CD.

Итак, прямая АА₁ перпендикулярна двум параллельным прямым плоскости АВС, но она не перпендикулярна этой плоскости.

Answer 2

Приношу извинения за недостаточно ясную формулировку в предыдущем ответе. Действительно, прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть как пересекающимися, так и параллельными. Необязательно, чтобы они пересекались.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, это означает, что эта прямая образует прямой угол с каждой из этих двух прямых. Важно отметить, что она может образовывать прямой угол как с пересекающимися прямыми, так и с параллельными прямыми, лежащими в той же плоскости.

Если прямые лежат в одной плоскости и пересекаются, то они образуют два угла на месте пересечения. Поскольку прямая перпендикулярна обеим прямым, она образует прямой угол с каждой из них. В этом случае теорема верна.

Однако, даже если прямые лежат в одной плоскости и параллельны, то прямая, перпендикулярная к ним, будет пересекать обе прямые в разных точках (в бесконечно удаленных точках, если прямые параллельны). И в таком случае она также будет перпендикулярна к этой плоскости. Таким образом, теорема верна для обоих вариантов: пересекающихся и параллельных прямых в одной плоскости.