Question

СРОЧНО!!! Если диагональ выпуклого четырехугольника делит другую диагональ пополам, то она делит пополам и площадь четырехугольника. Доказать

Answer 1

Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади (т.к. у них равные основания и общая высота).

O - точка пересечения диагоналей, AO=CO

BO - медиана в ABC, S(ABO)=S(CBO)

DO - медиана в ADC, S(ADO)=S(CDO)

S(ABO)+S(ADO)=S(CBO)+S(CDO) <=> S(ABD)=S(CBD)

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нам потребуется использовать некоторые свойства выпуклых четырехугольников и некоторые геометрические тождества. Давайте обозначим четырехугольник как ABCD, где диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Пусть d1 - длина первой диагонали (AC), а d2 - длина второй диагонали (BD). По условию, диагональ BD делит диагональ AC пополам, то есть d1 = 2 * d2.

Также пусть S - площадь четырехугольника ABCD.

Доказательство:

1. Разбиение на треугольники: Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника AOC и BOC. Поэтому S равна сумме площадей треугольников AOC и BOC:

   S = S(AOC) + S(BOC)

2. Площадь треугольника через диагонали: Площадь треугольника можно выразить через длины его сторон и радиус вписанной окружности (r):

   S(ABC) = (1/2) * a * b * sin(C) = (1/2) * r * (a + b + c)

   Где a, b, и c - длины сторон треугольника, C - угол между сторонами a и b.

3. Равенство площадей треугольников AOC и BOC: Так как диагональ BD делит диагональ AC пополам (d1 = 2 * d2), то точка O является серединой диагонали AC. Это означает, что треугольники AOC и BOC равны по площади (по правилу SSS, Side-Side-Side):

   S(AOC) = S(BOC)

4. Равенство площадей треугольников AOC и BOC влечет равенство площадей четырехугольников ABCD и ABOC: Так как AOC и BOC - это два треугольника, составляющих четырехугольник ABCD, и их площади равны, то и площади ABCD и ABOC также равны.

   S(ABCD) = S(ABOC)

5. Связь площадей четырехугольников ABCD и ABOC: Четырехугольник ABOC получается из четырехугольника ABCD удалением треугольника BOC. Поэтому площадь ABCD равна сумме площадей четырехугольника ABOC и треугольника BOC:

   S(ABCD) = S(ABOC) + S(BOC)

6. Заключение: Из шагов 4 и 5 следует, что:

   S(ABOC) + S(BOC) = S(ABOC) + S(BOC)

   Это равенство означает, что S(ABCD) (площадь четырехугольника ABCD) равна S(ABOC) (площадь четырехугольника ABOC). Так как диагональ AC делит площадь ABOC на две равные части, то она также делит площадь ABCD пополам.

Таким образом, диагональ выпуклого четырехугольника, которая делит другую диагональ пополам, также делит пополам площадь четырехугольника.