Question

Что такое теорема доказательства теоремы

Answer 1

В математических текстах теоремами обычно называют только те доказанные утверждения, которые находят широкое применение в решении математических задач. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены либо должны быть доказаны.

Answer 2

Теорема - это утверждение, выводимое в рамках рассматриваемой теории из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода.

Answer 3

Теорема о доказательстве теоремы является мета-теоремой в математике и логике. Она обычно называется "Теоремой Геделя о неполноте", и была сформулирована логиком Куртом Геделем в 1931 году.

Основная идея теоремы Геделя заключается в том, что в некоторых формальных системах, которые достаточно мощны, существуют утверждения, которые можно сформулировать на языке этой системы, но которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках этой же системы. Таким образом, такая формальная система окажется неполной в смысле логической полноты.

Теорема о неполноте Геделя имеет два основных следствия, которые обозначаются как Первая и Вторая теоремы о неполноте Геделя:

1. Первая теорема о неполноте Геделя утверждает, что в достаточно мощной формальной системе с арифметикой (например, формализованной аксиоматикой Пеано) существуют истинные утверждения, которые не могут быть доказаны внутри этой системы. Иными словами, такая система неполна: существуют верные утверждения, которые она не может доказать.

2. Вторая теорема о неполноте Геделя показывает, что если формальная система, содержащая элементарную арифметику, является непротиворечивой (то есть в ней невозможно доказать противоречивое утверждение), то сама формальная система не может доказать свою собственную непротиворечивость. То есть, если система считает себя непротиворечивой, то на самом деле она либо противоречива, либо неполна (согласно первой теореме).

Таким образом, теорема о доказательстве теоремы или теорема Геделя о неполноте демонстрирует некоторые ограничения формальных математических систем, намекая на их ограниченность в возможности доказывать все истинные утверждения.