Question

в треугольнике АВС АМ-медиана точка D лежит на отрезке АВ и АД:ДВ=1:3. Прямые АМ и СД пересекаются в точке N. Площадь треугольника ВNС равна 1. Найдите площадь треугольника АВС

Answer 1

///////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами медианы треугольника.

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном случае, медиана АМ соединяет вершину А с серединой стороны ВС. Также известно, что точка D лежит на медиане АМ и делит ее в отношении 1:3. Это означает, что длина АД составляет 1/4 длины АМ, и длина ДМ составляет 3/4 длины АМ.

Теперь обратим внимание на треугольники АДС и ВМС. Мы знаем, что у этих треугольников соответственные стороны пропорциональны (так как это треугольники, которые имеют общий угол и параллельные стороны):

AD/DM = AB/BC

Теперь подставим значения длин:

1/4 / 3/4 = AB / BC 1 / 3 = AB / BC

Также, так как ВН - медиана, она делит сторону ВС пополам. Значит, BN = NC.

Теперь, рассмотрим треугольники ВНС и ВАС. У них также соответственные стороны пропорциональны:

BN/NC = AB/AC

Но у нас также есть информация о площади треугольника ВНС: она равна 1.

Мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к этой стороне. Так как BN = NC, то высота, опущенная из вершины В на сторону ВС, делит площадь треугольника ВНС пополам.

Таким образом, площадь треугольника ВАС равна 2 (двойке, так как высота из В делит площадь пополам).

Теперь зная площадь треугольника ВАС, мы можем найти площадь треугольника АВС. Поскольку медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника, площадь треугольника АВС равна удвоенной площади треугольника ВАС.

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 2 * 2 = 4.