Question

Треугольнике ABC известно что AB равно 7 AC равно 8 угол BAC равен 120 градусов

Answer 1

В треугольнике ABC известно, что AB равно 7, AC равно 8, угол BAC равен 120 градусов. Найти ВС.

Ответ:   8

Объяснение:

По теореме косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

BC² = AB² + AC² - 2 · AB · AC · cos∠A =

       = 7² + 8² - 2 · 7 · 8 · cos120°

cos120° = - cos60° = - 1/2

BC² = 49 + 64 - 2 · 7 · 8 · (- 1/2) = 113 + 56 = 169

BC = √64 = 8

Answer 2

Для решения задачи, нам нужно найти длины сторон треугольника ABC и остальные углы. Для этого воспользуемся теоремой косинусов и теоремой синусов.

Пусть BC обозначает сторону треугольника противолежащую углу BAC, тогда:

1. Используем теорему косинусов: В треугольнике ABC, теорема косинусов утверждает, что для любого угла (в данном случае угол BAC) смежные стороны и косинус угла связаны формулой:

cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)

Подставим известные значения:

cos(120°) = (7^2 + 8^2 - BC^2) / (2 * 7 * 8)

Вычислим cos(120°):

cos(120°) = -0.5 (поскольку косинус 120° равен -0.5)

Теперь у нас есть уравнение:

-0.5 = (49 + 64 - BC^2) / 112

2. Найдем BC: 112 * -0.5 = 49 + 64 - BC^2

-56 = 113 - BC^2

BC^2 = 113 + 56

BC^2 = 169

BC = √169

BC = 13

Таким образом, сторона BC равна 13.

3. Теперь, чтобы найти остальные углы, воспользуемся теоремой синусов: В треугольнике ABC, теорема синусов утверждает, что соотношения между сторонами треугольника и синусами углов следующие:

sin(BAC) / AB = sin(ABC) / AC = sin(ACB) / BC

У нас уже есть значение sin(BAC) = sin(120°) = √3 / 2 (поскольку синус 120° равен √3 / 2) и известные значения AB = 7 и AC = 8.

4. Найдем sin(ABC):

sin(ABC) = (sin(BAC) * AC) / AB sin(ABC) = (√3 / 2 * 8) / 7 sin(ABC) = 4√3 / 7

5. Найдем угол ABC:

ABC = arcsin(sin(ABC)) ABC = arcsin(4√3 / 7) ABC ≈ 75.52°

6. Найдем угол ACB:

ACB = 180° - BAC - ABC ACB = 180° - 120° - 75.52° ACB ≈ 54.48°

Итак, стороны треугольника ABC равны: AB = 7, AC = 8, и BC = 13. Углы: угол BAC = 120°, угол ABC ≈ 75.52° и угол ACB ≈ 54.48°.