Question

Геометрия/40 БАЛЛОВ/ 1.В параллелограмме один из углов на 35º больше другого. Найти углы параллелограмма. 3.Найдите углы, которые образуют диагонали ромба АВСD с его сторонами, если А=100º. 5. В параллелограмме АВСD точки К и Е – середины сторон АВ и СD. Доказать, что АКСЕ – параллелограмм.

Answer 1

Все на фото............

Answer 2

1. В параллелограмме соседние углы (также называемые смежными) дополняют друг друга до 180º. Пусть один из углов параллелограмма равен xº. Тогда второй угол будет равен (x + 35)º. По условию, эти углы должны быть смежными. Таким образом, у нас получается уравнение:

x + (x + 35) = 180

Решаем уравнение:

2x + 35 = 180

2x = 180 - 35

2x = 145

x = 145 / 2

x = 72.5º

Таким образом, один угол параллелограмма равен 72.5º, а другой равен 72.5º + 35º = 107.5º.

3. Углы, которые образуют диагонали ромба, равны между собой. Для определения этих углов нам известно, что угол А ромба равен 100º. Так как сумма углов в каждом четырехугольнике равна 360º, то угол В ромба тоже равен 100º.

Теперь, зная, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, мы можем утверждать, что углы, образованные диагоналями с его сторонами, также равны между собой. Таким образом, эти углы равны 100º.

5. Докажем, что АКСЕ - параллелограмм, используя свойство параллелограмма: противоположные стороны параллельны и равны.

Пусть M и N - точки пересечения диагоналей АВСD и КЕ соответственно (точка M - середина диагонали ВС, точка N - середина диагонали AD).

Так как К и Е - середины сторон АВ и СD, то МК || АС и КС = 1/2 * АС, а также МЕ || АD и МЕ = 1/2 * АD.

Теперь рассмотрим треугольник АМК. В этом треугольнике КМ - медиана, а МЕ - медиана и пересекаются они в точке N (так как МК || АС и МЕ || АD). Согласно свойству медиан треугольника, точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1 от вершины, к которой она проведена. Таким образом, МН = 2 * НК.

Аналогично, рассмотрим треугольник СМЕ. В этом треугольнике МЕ - медиана, а КМ - медиана и пересекаются они в точке N. Опять же, согласно свойству медиан треугольника, МН = 2 * НЕ.

Теперь сравним НК и НЕ: МН = 2 * НК и МН = 2 * НЕ, откуда получаем, что НК = НЕ.

Таким образом, НКЕ - это параллелограмм, так как у него противоположные стороны равны и параллельны. А также, так как К и Е лежат на сторонах параллелограмма АВСD и являются серединами этих сторон, то КЕ || АС и КЕ || АD.

Следовательно, АКСЕ - параллелограмм.