Question

1)Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 54 см, а сторона АВ больше ВС в 2 раза. 2)Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А меньше угла В на 40 градусов 3)Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 120º. 4) Найти диагонали прямоугольника АВСД, если ABД=30 градусов., АД=6 см. 5)В четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180 градусов.Докажите, что АВСД – параллелограмм. 6) В ромбе MHPK с тупым углом K диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен 30 градусов.Найти углы ромба.

Answer 1

5.Теоремы (свойства параллелограмма):

Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны 180

Answer 2

1. Пусть сторона BC равна x см. Тогда сторона AB будет равна 2x см, так как AB больше BC в 2 раза. Периметр параллелограмма равен сумме длин его сторон:

Периметр = AB + BC + CD + DA 54 см = 2x + x + CD + DA

Из этого можно выразить длины CD и DA: CD = 54 см - 3x DA = 54 см - 3x

2. Пусть угол А равен x градусов. Тогда угол В будет равен (x + 40) градусов. Сумма углов параллелограмма равна 360 градусов, и у нас два равных угла (А и С), а также два равных угла (В и D):

2x + 2(x + 40) = 360 4x + 80 = 360 4x = 280 x = 70 градусов

Угол А = 70 градусов Угол В = x + 40 = 70 + 40 = 110 градусов Угол С = 70 градусов Угол D = 110 градусов

3. В прямоугольной трапеции один угол прямой (90 градусов). Обозначим другой угол как x. Таким образом, сумма углов внутри трапеции равна 180 градусов:

90 + x + 90 + x = 180 2x + 180 = 180 2x = 0 x = 0 градусов

Таким образом, углы прямоугольной трапеции равны 0 градусов, 90 градусов, 0 градусов и 90 градусов.

4. В прямоугольнике соседние углы являются смежными дополнительными углами, то есть их сумма равна 180 градусов. Угол АBD равен 30 градусов, следовательно, угол BDA (соседний угол) также равен 30 градусов. Таким образом, угол BCD (дополнительный угол к углу BDA) равен:

BCD = 180 - BDA = 180 - 30 = 150 градусов

Угол BCD является углом между диагоналями прямоугольника. Так как диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то угол между диагоналями будет равен 90 градусов.

5. Докажем, что ABSD - параллелограмм, используя данное условие. По условию сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон четырехугольника, равна 180 градусов. Пусть угол DAB равен x градусов. Тогда угол ABC будет равен 180 - x градусов, так как они прилежат к стороне AB.

Сумма углов внутри треугольника ABC: x + 180 - x + BAC = 180 BAC = 0 градусов

Таким образом, угол BAC равен 0 градусов, что означает, что сторона AB параллельна стороне CD.

6. В ромбе углы при основании (MHP и PKM) считаются равными. Пусть угол PKM равен 30 градусов. Так как у ромба все углы равны, угол MHP также будет равен 30 градусов.

Теперь рассмотрим угол MPK. В ромбе смежные углы дополнительны, то есть их сумма равна 180 градусов. Угол PKM равен 30 градусов, следовательно, угол MPK также будет равен:

MPK = 180 - PKM = 180 - 30 = 150 градусов

Таким образом, углы ромба MHPK равны: 30 градусов, 30 градусов, 150 градусов и 150 градусов.