Question

Через вершину M треугольника MNK проходит прямая а, не лежащая в плоскости треугольника. Докажите что существует единственная плоскость проходящая через прямую а и параллельна прямой NK

Answer 1

Потому что через эту точку может проходит только одна прямая, если она должна лежать не внутри треугольника, и она будет параллельна основанию треугольника.

Answer 2

Для доказательства существования и единственности такой плоскости, рассмотрим следующий аргумент.

Пусть через вершину M треугольника MNK проходит прямая а, которая не лежит в плоскости треугольника. Пусть также дана прямая NK.

1. Существование плоскости: Так как прямая а не лежит в плоскости треугольника MNK, она образует угол с этой плоскостью. Возьмем точку P на прямой а и соединим ее с точками N и K. Таким образом, у нас есть две прямые: NP и KP.

Существует единственная плоскость, проходящая через прямую а и параллельная прямой NK. Эта плоскость должна содержать прямую NP и параллельна NK. В этой плоскости прямые NP и NK не пересекаются, поскольку они параллельны. Таким образом, плоскость, проходящая через прямую а и параллельная прямой NK, существует.

2. Единственность плоскости: Допустим, что существует другая плоскость, проходящая через прямую а и параллельная прямой NK. Предположим, что эта плоскость пересекает отрезок NP в точке Q. Тогда, поскольку прямая NP и прямая NK параллельны, отрезок NQ и отрезок KP также будут параллельны.

Рассмотрим треугольник NQK, который лежит в плоскости, проходящей через прямую а и параллельной NK. Так как отрезок NQ параллелен отрезку KP, а также отрезок NK параллелен самому себе, по теореме о соотношении параллельных сторон треугольника получаем, что отрезок QK параллелен отрезку NP.

Теперь рассмотрим два треугольника NKP и NQM, лежащих в плоскостях, проходящих через прямую а и параллельных NK. У них уже есть две пары параллельных сторон (NK || NK и QK || NP) и общий угол N. Следовательно, эти два треугольника будут подобны.

Но подобные треугольники имеют пропорциональные стороны, и если отрезок QK параллелен отрезку NP, то соответствующие стороны в этих треугольниках также должны быть пропорциональны. Однако это невозможно, потому что отрезок NK имеет фиксированную длину, и его пропорциональность с самим собой не меняется. Таким образом, мы приходим к противоречию, и другая плоскость не может существовать.

Таким образом, единственная плоскость, проходящая через прямую а и параллельная прямой NK, действительно существует и единственна.