Question

Доказать, что если повернуть катеты прямоугольного треугольника так, чтобы они легли на гипотенузу, то длина их общей части (на гипотенузе) будет равна диаметру вписанной в треугольник окружности.

Answer 1

Надеюсь,  доходчиво.

................................................

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB и AC - катеты, а BC - гипотенуза.

1. Построение окружности: Внутренняя окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках D, E и F соответственно.

2. Построение катетов на гипотенузе: Повернем катеты AB и AC так, чтобы они легли на гипотенузу BC. Обозначим новые точки, где катеты касаются гипотенузы, как P и Q.

3. Доказательство: Теперь мы должны показать, что отрезок PQ на гипотенузе BC имеет длину равную диаметру вписанной окружности в треугольник ABC.

Для начала заметим, что треугольники APB и AQC подобны треугольнику ABC. Это следует из того, что они имеют два угла, которые равны соответствующим углам треугольника ABC. Кроме того, так как катеты AB и AC перпендикулярны и касаются окружности в точках D и F, соответствующие углы треугольников APB и AQC являются прямыми углами.

Из подобия треугольников APB и ABC мы можем записать отношение сторон:

AB / AP = BC / AB

Теперь, если мы решим это уравнение относительно AP, получим:

AP = (AB^2) / BC

Аналогичным образом, из подобия треугольников AQC и ABC мы получим:

AQ = (AC^2) / BC

Таким образом, длины отрезков AP и AQ на гипотенузе BC выражаются через квадраты длин катетов AB и AC и длину гипотенузы BC.

Далее, рассмотрим треугольник APQ. Этот треугольник прямоугольный, так как углы P и Q - прямые углы (как перпендикуляры к окружности). Также, он подобен треугольнику ABC, так как углы A, P и Q совпадают с углами треугольника ABC.

Таким образом, треугольник APQ является подобным треугольнику ABC, и отрезок PQ на гипотенузе BC соответствует диаметру вписанной окружности в треугольник ABC.