Question

Найдите площадь треугольника АВС, если а)АВ=5, АС=4, <А=30°; б) АС=2√2, ВС=3, <С=45°; в) ВС=6, АВ=5√3,<В=60°;

Answer 1

а) S=1/2 ab*sin∝

S=1/2*AB*AC*sin 30°=1/2*5*4*1/2=5

б) S=1/2*АС*ВС*sin 45°=1/2*2√2*3*√2/2=3

в) S=1/2*BC*AB*sin 60°= 1/2*6*5√3*√3/2=22,5

Answer 2

Для нахождения площади треугольника АВС в каждом из указанных случаев, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника по сторонам и углам.

Пусть стороны треугольника равны AB, AC и BC, а углы противолежащие им обозначены как A, B и C соответственно.

а) Для первого случая:

AB = 5, AC = 4, угол A = 30°

1. Найдем третью сторону BC с помощью закона косинусов: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(A) BC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 * 5 * 4 * cos(30°) BC^2 = 25 + 16 - 40 * cos(30°) BC^2 = 41 - 20√3 BC = √(41 - 20√3)

2. Теперь вычислим площадь треугольника по формуле Герона: s = (AB + AC + BC) / 2 s = (5 + 4 + √(41 - 20√3)) / 2 s ≈ 4.158

Площадь треугольника АВС: S = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) S = √(4.158 * (4.158 - 5) * (4.158 - 4) * (4.158 - √(41 - 20√3))) S ≈ √(4.158 * (-0.842) * 0.158 * (1.842)) ≈ √(-0.987) ≈ Не существует

Поскольку одна из сторон треугольника отрицательная, такой треугольник не существует.

б) Для второго случая:

AC = 2√2, BC = 3, угол C = 45°

1. Найдем сторону AB с помощью закона синусов: sin(C) = BC / AB AB = BC / sin(C) AB = 3 / sin(45°) AB = 3 / √2

2. Теперь вычислим площадь треугольника по формуле Герона: s = (AB + AC + BC) / 2 s = (√2 + 2√2 + 3) / 2 s = (3√2 + 3) / 2 s ≈ 2.121

Площадь треугольника АВС: S = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) S = √(2.121 * (2.121 - 3/√2) * (2.121 - 2√2) * (2.121 - 3)) S = √(2.121 * (-0.707) * 0.121 * (-0.879)) S ≈ √(0.187) ≈ 0.433

в) Для третьего случая:

BC = 6, AB = 5√3, угол B = 60°

1. Найдем сторону AC с помощью закона синусов: sin(B) = BC / AC AC = BC / sin(B) AC = 6 / sin(60°) AC = 6 / √3 AC = 2√3

2. Теперь вычислим площадь треугольника по формуле Герона: s = (AB + AC + BC) / 2 s = (5√3 + 2√3 + 6) / 2 s = (7√3 + 6) / 2 s ≈ 4.598

Площадь треугольника АВС: S = √(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) S = √(4.598 * (4.598 - 5√3) * (4.598 - 2√3) * (4.598 - 6)) S = √(4.598 * (-0.402) * 2.598 * (-1.402)) S ≈ √(2.621) ≈ 1.62

Итак, площадь треугольника АВС в каждом из указанных случаев равна: а) Не существует б) Приблизительно 0.433 в) Приблизительно 1.62