Question

Из всех цилиндров, имеющих площадь полной поверхности 16π, найдите цилиндр наибольшего объема.

Answer 1

S=2S(осн)+S(бок)=2piR^2+2piR*h=16pi

2piR(R+h)=16pi

R(R+h)=8

h=8/R-R

V=piR^2*h=piR^2*(8/R-R)=8piR-piR^3

V`=8pi-3piR^2=pi(8-3R^2)

V`=0; 3R^2=8; R=V(8/3)

h=8/V(8/3)-V(8/3)=V24-V(8/3)

V=piR^2*h=pi*8/3*(V24-V(8/3)≈27.3

Answer 2

Чтобы найти цилиндр наибольшего объема среди всех цилиндров с площадью полной поверхности 16π, нужно найти значения радиуса и высоты этого цилиндра, которые максимизируют его объем.

Обозначим радиус цилиндра как "r", а высоту как "h". Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

Площадь полной поверхности = 2πr^2 + 2πrh

Мы знаем, что площадь полной поверхности равна 16π:

2πr^2 + 2πrh = 16π

Мы можем сократить на 2π:

r^2 + rh = 8

Теперь нам нужно выразить высоту "h" через радиус "r":

h = (8 - r^2) / r

Теперь перейдем к вычислению объема цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

Объем = πr^2h

Подставим выражение для "h" в формулу объема:

Объем = πr^2 * [(8 - r^2) / r]

Объем = πr(8 - r^2)

Теперь нам нужно найти максимальное значение объема, что происходит, когда производная объема по радиусу равна нулю:

d(Объем)/dr = 0

d/dx[πr(8 - r^2)] = 0

После нахождения производной и приравнивания ее к нулю, получим:

π(8 - 3r^2) = 0

Теперь найдем значения "r":

8 - 3r^2 = 0

3r^2 = 8

r^2 = 8 / 3

r = √(8 / 3) или r ≈ 1.63

Теперь, когда у нас есть значение радиуса, мы можем найти значение высоты "h":

h = (8 - r^2) / r

h = (8 - (8 / 3)) / √(8 / 3)

h = (24 - 8) / √(8 / 3)

h = 16 / √(8 / 3)

h ≈ 6.93

Таким образом, цилиндр с наибольшим объемом среди всех цилиндров с площадью полной поверхности 16π имеет радиус около 1.63 и высоту около 6.93.