Question

В параллелограмме ABCD отрезки CA и MD пересекаются в точке O,M- середина стороны AB. Найдите длину AC, если AO=4

Answer 1

В параллелограмме ABCD отрезки CA

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства параллелограмма и свойства серединного перпендикуляра.

Известно, что в параллелограмме противоположные стороны равны. Таким образом, длина стороны CD равна длине стороны AB.

Также известно, что M - середина стороны AB. По свойству серединного перпендикуляра, отрезок MD является половиной диагонали BC.

Теперь, когда у нас есть информация о длине отрезков MD и CD, мы можем использовать подобие треугольников ΔACO и ΔMDO.

Мы знаем, что AO = 4, и поскольку O - точка пересечения диагоналей, она делит их пополам, поэтому MO = AO / 2 = 4 / 2 = 2.

Теперь рассмотрим треугольники ΔACO и ΔMDO. Они подобны, так как у них углы при вершине O равны (вертикальные углы). Таким образом, соотношение их сторон будет таким:

AC / MO = CO / DO.

Подставим известные значения:

AC / 2 = CD / (CD + 2).

Теперь мы можем найти длину CD:

CD = 2 * AC / (CD + 2).

Теперь используем информацию из первого уравнения: CD = AB.

Поскольку CD = AB, мы можем заменить CD в уравнении выше:

AB = 2 * AC / (AB + 2).

Теперь решим уравнение относительно AB:

AB * (AB + 2) = 2 * AC,

AB^2 + 2AB = 2 * AC.

Теперь, учитывая, что AO = 4 и AM = AO / 2 = 2, можем найти длину AB:

AB = AO + AM = 4 + 2 = 6.

Теперь мы можем найти длину AC:

AB^2 + 2AB = 2 * AC,

6^2 + 2 * 6 = 2 * AC,

36 + 12 = 2 * AC,

48 = 2 * AC,

AC = 48 / 2,

AC = 24.

Таким образом, длина AC равна 24.