Question

Решить задачу Окружность вписана в прямоугольный треугольник. Точка касания делит гипотенузу на части 6 см и 8 см. Найдите площадь треугольника (в см^2)

Answer 1

AK=AM=6 см,

BF=BM=8 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+8=14 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(8+x) см.

3) По теореме Пифагора:

   \[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]

   \[{(6 + x)^2} + {(8 + x)^2} = {14^2}\]

   \[36 + 12x + {x^2} + 64 + 16x + {x^2} = 196\]

   \[2{x^2} + 28x - 96 = 0\]

   \[{x^2} + 14x - 48 = 0\]

   D=1{4^2}-4*1*(-48)= 1552

   x= sqrt(97)-7

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CA=14 см, AC=8+sqrt(97)-7 см, BC=6+sqrt(97)-7 см.

OM=OK=OF=sqrt(97)-7

4) Площадь

S=AM*OM+AK*OK+OK*OF=8*x+6*x+{x^2}

S=(14+x)*x

S=(14+sqrt(97)-7)*(sqrt(97)-7)

S=(sqrt(97)+7)*(sqrt(97)-7)

S=97-{7^2}

S=48 с{м^2}

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится применить свойства вписанной окружности и прямоугольного треугольника.

Обозначим следующие величины: Пусть точка касания окружности с гипотенузой треугольника разделяет гипотенузу на две отрезка длиной 6 см и 8 см. Обозначим эти отрезки через a и b соответственно. Таким образом, a = 6 см и b = 8 см.

Пусть r - радиус вписанной окружности.

Так как окружность вписана в треугольник, то известно, что точка касания, центр окружности и точка пересечения биссектрисы угла треугольника лежат на одной прямой.

Из свойства вписанной окружности известно, что расстояние от точки касания до точки пересечения биссектрисы угла равно радиусу окружности (r).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c (длиной гипотенузы) имеем: c^2 = a^2 + b^2

Теперь найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: Площадь = (1/2) * a * b

Также, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника (p): Площадь = r * p

Где полупериметр треугольника (p) равен: p = (a + b + c) / 2

Теперь объединим все полученные уравнения и найдем площадь треугольника:

1. Найдем гипотенузу c по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 c^2 = 6^2 + 8^2 c^2 = 36 + 64 c^2 = 100 c = √100 c = 10 см

2. Найдем радиус вписанной окружности r: r = a = b = 6 см (так как радиус, биссектриса и точка касания лежат на одной прямой)

3. Найдем полупериметр треугольника p: p = (a + b + c) / 2 p = (6 + 8 + 10) / 2 p = 24 / 2 p = 12 см

4. Найдем площадь треугольника: Площадь = r * p Площадь = 6 см * 12 см Площадь = 72 см^2

Ответ: Площадь треугольника равна 72 см^2.