Question

Составить уравнение прямой проходящей через точку М (-1,1,1)и точку пересечения прямой (x+8)/1=(y-5)/(-2)=z/3 и плоскости x+y+x+1=0

Answer 1

Каноническое уравнение прямой прямой (x+8)/1=(y-5)/(-2)=z/3 переходим к параметрическим уравнениям этой прямой.

х = t - 8,  y = -2t + 5,  z = 3t и подставляем в уравнение плоскости.

t - 8 -2t + 5 + 3t + 1 = 0,

2t - 2 = 0,  t = 2/2 = 1.

Отсюда получаем координаты точки Р пересечения заданных прямой и плоскости: х = 1 - 8 = -7,  y = -2*1 + 5 = 3,  z = 3*1 = 3.

Тогда уравнение прямой, проходящей через точку М (-1,1,1) и точку пересечения прямой (x+8)/1=(y-5)/(-2)=z/3 и плоскости x+y+z+1=0, имеет вид (x + 1)/(-6) = (y - 1)/2 = (z - 1)/2.

Answer 2

Для составления уравнения прямой, проходящей через точку М (-1, 1, 1) и точку пересечения прямой и плоскости, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти точку пересечения прямой и плоскости. Для этого подставим уравнение прямой в уравнение плоскости и решим систему уравнений.

Уравнение прямой: (x + 8) / 1 = (y - 5) / (-2) = z / 3 Получим из первых двух равенств два уравнения: x + 8 = y - 5 ---> y = x + 13 (1) y - 5 = -2z ---> 2z = 5 - y (2)

Теперь подставим уравнение прямой в уравнение плоскости:

x + y + x + 1 = 0 x + (x + 13) + z + 1 = 0 2x + z + 14 = 0 2x + z = -14 (3)

Шаг 2: Найти точку пересечения прямой и плоскости, которая удовлетворяет уравнению (3). Подставим уравнение (1) в уравнение (3):

2x + z = -14 2x + (x + 13) = -14 3x + 13 = -14 3x = -14 - 13 3x = -27 x = -27 / 3 x = -9

Теперь найдем значение z, используя уравнение (2):

2z = 5 - y 2z = 5 - (-9 + 13) (подставляем значение x из уравнения (1)) 2z = 5 - 4 2z = 1 z = 1 / 2

Шаг 3: Найдем значение y, используя значение x и уравнение (1):

y = x + 13 y = -9 + 13 y = 4

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости - P(-9, 4, 1).

Шаг 4: Теперь у нас есть две точки: M(-1, 1, 1) и P(-9, 4, 1). Можем составить уравнение прямой, используя формулу точки и направляющего вектора:

Направляющий вектор прямой будет равен разности координат P и M: d = P - M = (-9, 4, 1) - (-1, 1, 1) = (-8, 3, 0)

Теперь уравнение прямой: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t * d, где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки M, d - направляющий вектор, t - параметр.

Подставим значения: (x, y, z) = (-1, 1, 1) + t * (-8, 3, 0)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M и точку пересечения прямой и плоскости, будет:

x = -1 - 8t y = 1 + 3t z = 1

Или в векторной форме:

(r: x, y, z) = (-1, 1, 1) + t * (-8, 3, 0)