Question

Отрезки АВ и СД являются диаметрами окружности с центром О. Докажите что:а) угол СДВ=углу АВД б) отрезки АД и СВ равны.

Answer 1

Решение задачи во вложенном файле.

Answer 2

Для доказательства данных утверждений, нам понадобятся некоторые свойства окружностей и треугольников.

Предположим, что отрезки AB и CD являются диаметрами окружности с центром O. Давайте посмотрим на изображение, чтобы лучше понять обозначения и геометрию.

mathematicaCopy code
       A
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  O---------B
   \       /
    \     /
     \   /
      \ /
       C
        \
         \
          \
           \
            D

а) Доказательство угла СДВ = углу АВД:

1. Поскольку AB является диаметром окружности, угол AOB равен 90 градусов (угол, образованный диаметром и хордой на окружности).

2. Также, поскольку CD является диаметром окружности, угол COD равен 90 градусов.

3. Отметим, что угол AOB и угол COD образуют прямую линию, так как они находятся на диаметрах и, следовательно, составляют 180 градусов.

4. Теперь обратим внимание, что угол AOD - это сумма углов AOB и BOC (так как это угол внутри треугольника AOB), то есть AOD = AOB + BOC.

5. Аналогично, угол BOC - это сумма углов BOD и DOC, то есть BOC = BOD + DOC.

6. Теперь объединим выражения (4) и (5) так, чтобы угол AOD выразить через углы BOD и DOC: AOD = (BOB + BOC) + (DOC + COD) (подставляем выражения BOC и COD из пунктов 4 и 5) AOD = 180° + (BOD + DOC)

7. Заметим, что угол AOD - это сумма углов BOD и DOC, следовательно, угол AOD равен 180°.

8. Теперь у нас есть два треугольника AOD и BOD, у которых сумма углов равна 180°. Значит, угол AOD и угол BOD являются смежными углами при прямой.

9. Смежные углы при прямой равны между собой, следовательно, угол AOD = углу BOD.

10. Но угол AOD - это угол СДВ (так как мы его обозначили так), а угол BOD - это угол АВД.

11. Итак, мы доказали, что угол СДВ = углу АВД.

б) Доказательство равенства отрезков АД и СВ:

1. Поскольку AB является диаметром окружности, точка O, которая является центром окружности, лежит на середине отрезка AB.

2. Точно так же, поскольку CD является диаметром окружности, точка O также лежит на середине отрезка CD.

3. Следовательно, отрезки АО и ВО равны между собой (по определению середины отрезка).

4. Отрезки АО и ВО - это радиусы окружности, и радиусы окружности равны между собой.

5. Таким же образом, отрезки CO и DO равны между собой.

6. Теперь поскольку АО = ВО и СО = DO, а отрезок СО соответствует отрезку АВ, а отрезок DO соответствует отрезку CD, то отрезки АВ и CD равны между собой.

Таким образом, мы доказали, что: а) угол СДВ = углу АВД; б) отрезки АД и СВ равны.