Question

Даю 50 баллов. Прямые, содержащие биссектрисы треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A1,B1,C1. Докажите что центр вписанной окружности треугольника ABC является ортоцентром треугольника A1B1C1.

Answer 1

////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Вершины △ABC разбивают описанную окружность на три дуги. Биссектрисы углов треугольника делят эти дуги пополам (два равных вписанных угла опираются на равные дуги), точки A1, B1, C1 - середины дуг.  

Вписанные углы ∠BB1C1, ∠BB1A1, ∠A1 опираются на половины дуг AB, BC, AC, следовательно сумма вписанных углов равна четверти окружности, 90.  

∠BB1C1+∠BB1A1+∠A1 =∪AB/4+∪BC/4+∪AC/4 =360/4 =90

AA1 и B1C1 пересекаются в точке H. В △A1B1H сумма углов ∠A1 и ∠B1 равна 90, треугольник прямоугольный, AA1 и B1C1 пересекаются под прямым углом.  

Аналогично BB1⊥A1C1, CC1⊥A1B1. Биссектрисы △ABC являются высотами △A1B1C1. Центр вписанной окружности (пересечение биссектрис) △ABC является ортоцентром (пересечением высот) △A1B1C1.

Answer 3

Для доказательства данного утверждения, нам понадобится использовать свойство биссектрис треугольника и теорему о правильных четырехугольниках.

Пусть I обозначает центр вписанной окружности треугольника ABC, а H - его ортоцентр.

1. Докажем, что I лежит на биссектрисе угла A. Рассмотрим биссектрису угла A треугольника ABC. Пусть она пересекает сторону BC в точке D. Тогда, согласно свойству биссектрис, отношение |BD|/|CD| равно отношению длин отрезков AB/AC. Теперь обратим внимание на треугольник ABI, где I - центр вписанной окружности. В этом треугольнике угол ABI равен половине угла BAC, то есть α/2, и угол AIB равен 180° - α, где α - угол BAC. Рассмотрим треугольник AIC. Угол AIC также равен 180° - α. Таким образом, угол ABI равен углу AIC, и по построению отрезков BD и CD, у нас есть подобие этих треугольников ABI и AIC. Следовательно, отношение |BI|/|IC| равно отношению |BD|/|CD|, что равно отношению |AB|/|AC|. Но мы знаем, что отношение |BI|/|IC| равно отношению радиусов окружностей, то есть |BI|/|IC| = |AB|/|AC|, откуда следует, что |BD|/|CD| = |AB|/|AC|. Это означает, что точка I лежит на биссектрисе угла A.

2. Аналогично докажем, что I лежит на биссектрисах углов B и C. Это можно сделать симметричным рассуждением.

Таким образом, мы показали, что центр вписанной окружности I треугольника ABC лежит на биссектрисах углов треугольника.

3. Теперь обратим внимание на треугольник A1B1C1, образованный пересечением биссектрис треугольника ABC с его описанной окружностью. Ортоцентром треугольника является точка пересечения высот, а так как ортоцентр лежит на всех трех высотах треугольника, он лежит и на отрезках, соединяющих вершины треугольника с серединами противоположных сторонами.

Таким образом, точка H (ортоцентр треугольника ABC) лежит на отрезках A1I, B1I и C1I.

Итак, мы показали, что центр вписанной окружности I лежит на биссектрисах треугольника ABC, и ортоцентр H треугольника A1B1C1 лежит на прямых A1I, B1I и C1I.

Из свойств биссектрис треугольника следует, что биссектрисы треугольника ABC пересекаются в его центре I. А также из свойств ортоцентра следует, что ортоцентр треугольника A1B1C1 лежит на прямых, соединяющих вершины этого треугольника с серединами противоположных сторонами. Но это и есть одна и та же точка I.

Таким образом, центр вписанной окружности треугольника ABC является ортоцентром треугольника A1B1C1.