Question

Кут між діагоналями прямокутника дорівнює 30°. Знайдіть площу прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 12 см.

Answer 1

Диагонали прямоугольника равны+делятся точкой пересечения пополам. От сюда по теореме косинусов одна сторона равна ✓(36+36-2соs30)=✓(72-2×✓3/2)=✓(72-✓3)=a

А другая ✓(36+36-2соs150)=✓(72-2×-✓3/2)=✓(72+✓3)=b

S=a*b=✓(72^2-3)=✓(5184-3)=✓(5181)

Answer 2

Для знаходження площі прямокутника, знаючи кут між діагоналями і довжину однієї з них, нам знадобиться знати довжину другої діагоналі.

Для обчислення довжини другої діагоналі скористаємося трикутником, утвореним діагоналями і однією стороною прямокутника. Нехай "a" і "b" - сторони прямокутника, а "d" - довжина діагоналі.

Ми знаємо, що кут між діагоналями дорівнює 30°. Тому ми можемо скористатися тригонометричним співвідношенням для косинуса кута:

cos(30°) = adjacent / hypotenuse

де "adjacent" - прилегла сторона до кута (сторона прямокутника), "hypotenuse" - гіпотенуза (довжина однієї з діагоналей).

Підставимо відповідні значення:

cos(30°) = a / d

Тепер знайдемо "a":

a = d * cos(30°)

Також, з теореми Піфагора для трикутника з діагоналями, знаємо:

d^2 = a^2 + b^2

Підставимо значення "a":

d^2 = (d * cos(30°))^2 + b^2

d^2 = d^2 * cos^2(30°) + b^2

Тепер розв'яжемо вираз для "b":

b^2 = d^2 - d^2 * cos^2(30°)

b^2 = d^2 * (1 - cos^2(30°))

b^2 = d^2 * (1 - 1/4)

b^2 = d^2 * (3/4)

b = sqrt(d^2 * (3/4))

b = (sqrt(3) / 2) * d

Тепер, ми знаємо довжини обох діагоналей, і можемо знайти площу прямокутника, використовуючи формулу:

Площа = довжина_першої_діагоналі * довжина_другої_діагоналі / 2

Підставимо відповідні значення:

Площа = 12 см * (sqrt(3) / 2) * 12 см / 2

Площа = (12 * 12 * sqrt(3)) / 4

Площа = (144 * sqrt(3)) / 4

Площа = 36 * sqrt(3) см²

Отже, площа прямокутника дорівнює приблизно 62.35 см² (заокруглімо до двох десяткових знаків).